Considere um cilindro com:
\text { raio } \boldsymbol{r} \text { e altura } \boldsymbol{h}
Determine o grau de homogeneidade da função volume do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o grau de homogeneidade da função volume do cilindro, cujas variáveis são o raio \,r e a altura \,h.
Informações relevantes dadas (e/ou óbvias a partir do enunciado):
  • Há um cilindro com raio \,r e altura \,h.
  • A função volume é uma função de duas variáveis: \,V=V(r,h).
  • Objetivo: achar o número k tal que a função seja homogênea de grau k (se for homogênea).

Passo 2

O que significa "ser homogênea de grau k"? Vou explicar isso direitinho.
Uma função f de variáveis \,x_1,x_2,\dots é dita homogênea de grau k se, para todo escalar positivo \,t, vale:
f(t x_1, t x_2,\dots)=t^{k}\,f(x_1,x_2,\dots).
Isto é, ao multiplicar todas as variáveis por um mesmo fator \,t, o valor da função se multiplica por \,t^{k}. O número \,k é o grau de homogeneidade. Na prática, para problemas geométricos, \,k costuma corresponder à dimensão: áreas têm k=2, volumes têm k=3, etc. Mas vamos mostrar isso formalmente para o cilindro.

Passo 3

Primeiro escrevemos a fórmula do volume do cilindro (essa fórmula é padrão; estou usando-a como informação que a geometria do cilindro nos dá):
V(r,h)=\pi\,r^{2}h.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de homogeneidade: calculamos V\big(t r, t h\big) e vemos como isso se relaciona com V(r,h). Faço a substituição explicitamente:
V\big(t r, t h\big)=\pi\,(t r)^{2}\,(t h).
Desenvolvendo as potências passo a passo:
(t r)^{2}=t^{2}r^{2},
então
\pi\,(t r)^{2}\,(t h)=\pi\,(t^{2}r^{2})\,(t h)=\pi\,t^{2}r^{2}\,t h.
Agrupando os fatores t:
\pi\,t^{2}r^{2}\,t h=\pi\,t^{3}r^{2}h = t^{3}\,\big(\pi r^{2}h\big).
Ou seja,
V\big(t r, t h\big)=t^{3}\,V(r,h).

Passo 5

Pelo resultado acima, pela definição de homogeneidade, a função V(r,h) é homogênea de grau k com
k=3.
Como checagem alternativa (útil para prova): usando o teorema de Euler para funções homogêneas, se V é homogênea de grau k então
r\frac{\partial V}{\partial r}+h\frac{\partial V}{\partial h}=k\,V.
Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial V}{\partial r}=2\pi r h,\qquad \frac{\partial V}{\partial h}=\pi r^{2}.
Então
r\cdot(2\pi r h)+h\cdot(\pi r^{2})=2\pi r^{2}h+\pi r^{2}h=3\pi r^{2}h=3V,
o que confirma k=3.

Passo 6

Intuição física e final: volume é uma quantidade com dimensão de comprimento ao cubo. Se todas as dimensões lineares do corpo são multiplicadas por \,t, o volume é multiplicado por \,t^{3}. Isso coincide com o cálculo algébrico feito acima. Portanto o grau de homogeneidade é 3.

Resposta

3

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