Considere um cilindro com:
Determine o grau de homogeneidade da função volume do cilindro.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o grau de homogeneidade da função volume do cilindro, cujas variáveis são o raio
e a altura
.
Informações relevantes dadas (e/ou óbvias a partir do enunciado):
Informações relevantes dadas (e/ou óbvias a partir do enunciado):
- Há um cilindro com raio
e altura . - A função volume é uma função de duas variáveis:
. - Objetivo: achar o número
tal que a função seja homogênea de grau (se for homogênea).
Passo 2
O que significa "ser homogênea de grau
"? Vou explicar isso direitinho.
Uma função de variáveis
é dita homogênea de grau
se, para todo escalar positivo
, vale:
Uma função
Isto é, ao multiplicar todas as variáveis por um mesmo fator
, o valor da função se multiplica por
. O número
é o grau de homogeneidade. Na prática, para problemas geométricos,
costuma corresponder à dimensão: áreas têm
, volumes têm
, etc. Mas vamos mostrar isso formalmente para o cilindro.
Passo 3
Primeiro escrevemos a fórmula do volume do cilindro (essa fórmula é padrão; estou usando-a como informação que a geometria do cilindro nos dá):
Passo 4
Agora aplicamos a definição de homogeneidade: calculamos
e vemos como isso se relaciona com
. Faço a substituição explicitamente:
Desenvolvendo as potências passo a passo:
então
Agrupando os fatores
:
Ou seja,
Passo 5
Pelo resultado acima, pela definição de homogeneidade, a função
é homogênea de grau
com
Como checagem alternativa (útil para prova): usando o teorema de Euler para funções homogêneas, se
é homogênea de grau
então
Calculando as derivadas parciais:
Então
o que confirma
.
Passo 6
Intuição física e final: volume é uma quantidade com dimensão de comprimento ao cubo. Se todas as dimensões lineares do corpo são multiplicadas por
, o volume é multiplicado por
. Isso coincide com o cálculo algébrico feito acima. Portanto o grau de homogeneidade é
.