Sejam e números reais . Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que nos pede para encontrar uma série de potências cujo intervalo de convergência seja , onde e são números reais com . Então, aqui estamos trabalhando com Séries de Potências, que são somas infinitas na forma de , onde é o centro da série e são os coeficientes. Precisamos determinar uma série que converge para todos os entre e , incluindo mas excluindo .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da nossa série. O centro geralmente fica no meio do intervalo de convergência. Então, calculamos:
Isso coloca o centro exatamente no meio entre e .
Passo 3
Agora, precisamos determinar o raio de convergência da série. O raio é metade do comprimento do intervalo de convergência. Então:
Isso significa que a série vai se estender unidades para cada lado do centro .
Passo 4
Com o centro e o raio definidos, podemos escrever a série de potências geral:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os coeficientes de forma que a série convirja no intervalo . Para garantir que a série converge em , mas não em , podemos escolher uma série onde os termos se comportam adequadamente nesse ponto. Uma escolha simples é:
Isso simplifica a série para:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da série:
Passo 7
Essa série é uma série geométrica, que converge quando a razão absoluta é menor que 1:
Resolvendo essa desigualdade, encontramos exatamente o intervalo (p, q), mas como escolhemos os coeficientes para garantir a convergência em q, temos o intervalo (p, q].
Resposta
Uma série de potências com centro em e raio que converge no intervalo (p, q] é: