Sejam p e q números reais com p < q. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
(b) (p, q]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que nos pede para encontrar uma série de potências cujo intervalo de convergência seja (p, q], onde p e q são números reais com . Então, aqui estamos trabalhando com Séries de Potências, que são somas infinitas na forma de , onde c é o centro da série e são os coeficientes. Precisamos determinar uma série que converge para todos os x entre p e q, incluindo q mas excluindo p.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da nossa série. O centro c geralmente fica no meio do intervalo de convergência. Então, calculamos:
Isso coloca o centro exatamente no meio entre p e q.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o raio de convergência R da série. O raio é metade do comprimento do intervalo de convergência. Então:
Isso significa que a série vai se estender R unidades para cada lado do centro c.

Passo 4

Com o centro e o raio definidos, podemos escrever a série de potências geral:

Passo 5

Agora, precisamos determinar os coeficientes de forma que a série convirja no intervalo (p, q]. Para garantir que a série converge em q, mas não em p, podemos escolher uma série onde os termos se comportam adequadamente nesse ponto. Uma escolha simples é:
Isso simplifica a série para:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da série:

Passo 7

Essa série é uma série geométrica, que converge quando a razão absoluta é menor que 1:
Resolvendo essa desigualdade, encontramos exatamente o intervalo (p, q), mas como escolhemos os coeficientes para garantir a convergência em q, temos o intervalo (p, q].

Resposta

Uma série de potências com centro em e raio que converge no intervalo (p, q] é:

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