Considere
Mostre que:
para qualquer curva fechada simples
orientada no sentido positivo que não contenha a origem.
Passo 1
A questão nos dá o campo vetorial
e pede para mostrar que
para qualquer curva fechada simples
orientada positivamente que não contenha a origem. O conteúdo envolvido é integrais de linha e o Teorema de Green; vamos precisar verificar as condições de aplicação do Teorema e calcular o rotacional de
.
Passo 2
Primeiro, notamos que as componentes de
são funções de classe
em
. Se a curva simples fechada
não contém a origem, então a região interior a
está totalmente em
, que é simplesmente conexo nessa porção. Portanto podemos aplicar o Teorema de Green nessa região.
Passo 3
Precisamos calcular o rotacional (em 2D) de
, isto é,
Como
temos
Logo
Passo 4
Pelo Teorema de Green, para
orientada positivamente e sem singularidades internas, vale
Resposta
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