Considere
F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2)
Mostre que:
ointC F cdot d r=0 para qualquer curva fechada simples C orientada no sentido positivo que não contenha a origem.

Passo 1

A questão nos dá o campo vetorial
vec F(x,y)=l(-yx^2+y^2,,xx^2+y^2r)
e pede para mostrar que
ointCvec Fcdot dvec r=0
para qualquer curva fechada simples C orientada positivamente que não contenha a origem. O conteúdo envolvido é integrais de linha e o Teorema de Green; vamos precisar verificar as condições de aplicação do Teorema e calcular o rotacional de vec F.

Passo 2

Primeiro, notamos que as componentes de vec F são funções de classe C^1 em D= R^2setminus(0,0). Se a curva simples fechada C não contém a origem, então a região interior a C está totalmente em D, que é simplesmente conexo nessa porção. Portanto podemos aplicar o Teorema de Green nessa região.

Passo 3

Precisamos calcular o rotacional (em 2D) de vec F=(P,Q), isto é,
partial Qpartial x-partial Ppartial y
Como
P(x,y)=-yx^2+y^2, Q(x,y)=xx^2+y^2,
temos
partial Ppartial y =-(x^2+y^2)-2y^2(x^2+y^2)^2 =-x^2-y^2(x^2+y^2)^2,
partial Qpartial x =(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2 =-x^2-y^2(x^2+y^2)^2
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y =-x^2-y^2(x^2+y^2)^2-l(-x^2-y^2(x^2+y^2)^2r) =0

Passo 4

Pelo Teorema de Green, para C orientada positivamente e sem singularidades internas, vale
ointC P,dx+Q,dy =integral duplaint(C)l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA =integral duplaint(C)0,dA =0

Resposta

0

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