Considere f(x, y, z)=x^2 y z^3 e F(x, y, z)=(x z,-y^2, 2 x^2 y). Agora calcule
nabla cdot F

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial $ F(x, y, z) = \left(x z, -y^{2}, 2 x^{2} y\right) $ e precisamos calcular a divergência dessa função, que é representada por $ \nabla \cdot F $. A matéria aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o conceito de divergência. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais de cada componente da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial $ F = (F_x, F_y, F_z) $ é uma operação que nos dá uma medida de quanto esse campo está “divergindo” de um ponto. Matematicamente, a divergência é definida como a soma das derivadas parciais de cada componente do vetor em relação às suas respectivas variáveis:
F = (Fx, Fy, Fz)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Primeira componente ($ F_x = x z $) em relação a $ x $:
    Fx = x z
    Aqui, tratamos $ z $ como uma constante em relação a $ x $.
  2. Segunda componente ($ F_y = -y^{2} $) em relação a $ y $:
    x
    A derivada de $ -y^{2} $ em relação a $ y $ é $ -2y $.
  3. Terceira componente ($ F_z = 2 x^{2} y $) em relação a $ z $:
    partial Fxpartial x = partialpartial x (x z) = z
    Aqui, $ F_z $ não depende de $ z $, então a derivada é zero.

Resposta

Somando tudo, temos:
nabla cdot F = z - 2 y + 0 = z - 2 y
Portanto, a divergência de $ F $ é $ \nabla \cdot F = z - 2 y $.

Exercícios relacionados