Considere
e
. Agora calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial $ F(x, y, z) = \left(x z, -y^{2}, 2 x^{2} y\right) $ e precisamos calcular a divergência dessa função, que é representada por $ \nabla \cdot F $. A matéria aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o conceito de divergência. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais de cada componente da função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial $ F = (F_x, F_y, F_z) $ é uma operação que nos dá uma medida de quanto esse campo está “divergindo” de um ponto. Matematicamente, a divergência é definida como a soma das derivadas parciais de cada componente do vetor em relação às suas respectivas variáveis:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
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Primeira componente ($ F_x = x z $) em relação a $ x $:Aqui, tratamos $ z $ como uma constante em relação a $ x $.
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Segunda componente ($ F_y = -y^{2} $) em relação a $ y $:A derivada de $ -y^{2} $ em relação a $ y $ é $ -2y $.
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Terceira componente ($ F_z = 2 x^{2} y $) em relação a $ z $:Aqui, $ F_z $ não depende de $ z $, então a derivada é zero.
Resposta
Somando tudo, temos:
Portanto, a divergência de $ F $ é $ \nabla \cdot F = z - 2 y $.