Escreva o conjugado do seguinte número complexo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o conjugado de um número complexo que está numa fração com potências de $ i $. A matéria que vamos usar aqui é sobre Números Complexos, especificamente sobre como simplificar potências de $ i $ e encontrar o seu conjugado. Vamos precisar lembrar que $ i $ é a unidade imaginária, onde $ i^2 = -1 $, e que as potências de $ i $ se repetem a cada 4 termos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as potências de $ i $ que estão no numerador e no denominador. Sabemos que as potências de $ i $ têm um ciclo que se repete a cada 4 termos:
Para simplificar $ i^{17} $ e $ i^{35} $, por exemplo, fazemos:
Vamos aplicar isso a todas as potências presentes na fração.
Passo 3
Vamos simplificar cada termo:
Numerador:
Denominador:
Simplificando cada potência:
Substituindo:
Passo 4
Agora, nossa fração simplificada fica:
Para facilitar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é $ -2 + i $, para eliminar o número imaginário do denominador.
Vamos multiplicar:
Numerador:
Denominador:
Então, a fração fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o conjugado desse número complexo. O conjugado de $ a + bi $ é $ a - bi $. Então, para $ -\frac{3}{5} - \frac{1}{5}i $, o conjugado é:
Resposta
O conjugado do número complexo é: