Escreva o conjugado do seguinte número complexo:
i^3-i^2+i^17-i^35i^26-i^13+i^30

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o conjugado de um número complexo que está numa fração com potências de $ i $. A matéria que vamos usar aqui é sobre Números Complexos, especificamente sobre como simplificar potências de $ i $ e encontrar o seu conjugado. Vamos precisar lembrar que $ i $ é a unidade imaginária, onde $ i^2 = -1 $, e que as potências de $ i $ se repetem a cada 4 termos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as potências de $ i $ que estão no numerador e no denominador. Sabemos que as potências de $ i $ têm um ciclo que se repete a cada 4 termos:
i
Para simplificar $ i^{17} $ e $ i^{35} $, por exemplo, fazemos:
i
i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, e assim por diante
Vamos aplicar isso a todas as potências presentes na fração.

Passo 3

Vamos simplificar cada termo:
Numerador:
i^3 - i^2 + i^17 - i^35 = (-i) - (-1) + i - (-i) = -i + 1 + i + i = ( -i + i ) + i + 1 = i + 1
Denominador:
i^26 - i^13 + i^30
Simplificando cada potência:
26 div 4 = 6 com resto 2 Rightarrow i^26 = i^2 = -1
13 div 4 = 3 com resto 1 Rightarrow i^13 = i^1 = i
30 div 4 = 7 com resto 2 Rightarrow i^30 = i^2 = -1
Substituindo:
-1 - i + (-1) = -2 - i

Passo 4

Agora, nossa fração simplificada fica:
i + 1-2 - i
Para facilitar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é $ -2 + i $, para eliminar o número imaginário do denominador.
-2 + i
Vamos multiplicar:
Numerador:
(i + 1)(-2 + i)(-2 - i)(-2 + i)
Denominador:
(i)(-2) + (i)(i) + (1)(-2) + (1)(i) = -2i + i^2 - 2 + i = -2i -1 -2 + i = -3 - i
Então, a fração fica:
(-2)^2 - (i)^2 = 4 - (-1) = 5

Passo 5

Agora, vamos encontrar o conjugado desse número complexo. O conjugado de $ a + bi $ é $ a - bi $. Então, para $ -\frac{3}{5} - \frac{1}{5}i $, o conjugado é:
a + bi

Resposta

O conjugado do número complexo é:
-35 + 15i

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