Considere f(x, y, z)=x^2 y z^3 e F(x, y, z)=(x z,-y^2, 2 x^2 y). Agora calcule
nabla times F

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício nos dá um campo vetorial $ F(x, y, z) = (x z, -y^{2}, 2x^{2} y) $ e pede para calcular o rotacional desse campo, que é representado por $ \nabla \times F $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula do rotacional que envolve derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial $ F = (F_x, F_y, F_z) $. A fórmula é baseada em determinantes e fica assim:
F = (Fx, Fy, Fz)
Essa expressão significa que vamos calcular certas derivadas parciais das componentes de $ F $ para encontrar cada componente do rotacional.

Passo 3

Vamos identificar as componentes de $ F $:
F
Agora, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do rotacional:
  1. Para a componente Fx = x z, Fy = -y^2, Fz = 2x^2 y :
    i
    partial Fzpartial y = partialpartial y(2x^2 y) = 2x^2
    Então,
    partial Fypartial z = partialpartial z(-y^2) = 0
  2. Para a componente partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 2x^2 - 0 = 2x^2 :
    j
    partial Fzpartial x = partialpartial x(2x^2 y) = 4x y
    Então,
    partial Fxpartial z = partialpartial z(x z) = x
  3. Para a componente partial Fzpartial x - partial Fxpartial z = 4x y - x = 3x y :
    k
    partial Fypartial x = partialpartial x(-y^2) = 0
    Então,
    partial Fxpartial y = partialpartial y(x z) = 0

Passo 4

Agora, vamos montar o vetor do rotacional usando as componentes que calculamos:
nabla times F = (2x^2) i - (3x y) j + (0) k
Simplificando, temos:
nabla times F = 2x^2 i - 3x y j
Como a componente $ \mathbf{k} $ é zero, podemos escrever o rotacional de forma mais compacta.

Resposta

O rotacional de $ F $ é:
F

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