Considere
e
. Agora calcule
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício nos dá um campo vetorial $ F(x, y, z) = (x z, -y^{2}, 2x^{2} y) $ e pede para calcular o rotacional desse campo, que é representado por $ \nabla \times F $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula do rotacional que envolve derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial $ F = (F_x, F_y, F_z) $. A fórmula é baseada em determinantes e fica assim:
Essa expressão significa que vamos calcular certas derivadas parciais das componentes de $ F $ para encontrar cada componente do rotacional.
Passo 3
Vamos identificar as componentes de $ F $:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do rotacional:
-
Para a componente
:Fx = x z, Fy = -y^2, Fz = 2x^2 y i partial Fzpartial y = partialpartial y(2x^2 y) = 2x^2 Então,partial Fypartial z = partialpartial z(-y^2) = 0 -
Para a componente
:partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 2x^2 - 0 = 2x^2 j partial Fzpartial x = partialpartial x(2x^2 y) = 4x y Então,partial Fxpartial z = partialpartial z(x z) = x -
Para a componente
:partial Fzpartial x - partial Fxpartial z = 4x y - x = 3x y k partial Fypartial x = partialpartial x(-y^2) = 0 Então,partial Fxpartial y = partialpartial y(x z) = 0
Passo 4
Agora, vamos montar o vetor do rotacional usando as componentes que calculamos:
Simplificando, temos:
Como a componente $ \mathbf{k} $ é zero, podemos escrever o rotacional de forma mais compacta.
Resposta
O rotacional de $ F $ é: