Considere f(x, y, z)=x+y+z com a restrição x^2+y^2+z^2=1. Mostre que f atinge seu máximo e mínimo nos pontos onde (x, y, z) é um vetor unitário paralelo ao vetor ∇f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y, z) = x + y + z $ e uma restrição que é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. Nosso objetivo é mostrar que essa função atinge seus valores máximos e mínimos nos pontos onde o vetor $ (x, y, z) $ é um vetor unitário paralelo ao gradiente de $ f $ (que é $ \nabla f $). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre otimização com restrições usando multiplicadores de Lagrange e a noção de gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente da função $ f $. O gradiente, $ \nabla f $, aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais:
f
Então, o gradiente de $ f $ é o vetor $ (1, 1, 1) $.

Passo 3

Agora, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para otimizar $ f $ sujeito à restrição $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. A ideia é encontrar um número $ \lambda $ tal que o gradiente de $ f $ seja paralelo ao gradiente da restrição. Formalmente, isso significa:
f

Passo 4

Calculando o gradiente da restrição $ g(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} $, temos:
g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2
Então, a equação fica:
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y, partial gpartial z ) = (2x, 2y, 2z)

Passo 5

Isso nos dá um sistema de equações:
1 = 2lambda x 1 = 2lambda y 1 = 2lambda z
Note que todas as componentes são iguais, o que implica que $ x = y = z $.

Passo 6

Como $ x = y = z $, podemos substituir na restrição $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $:
x = y = z
Então, os pontos críticos são $ \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) $ e $ \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) $.

Passo 7

Esses pontos são vetores unitários porque satisfazem $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $ e são paralelos ao gradiente $ \nabla f = (1, 1, 1) $, já que $ (x, y, z) $ é um múltiplo de $ (1, 1, 1) $.

Passo 8

Agora, vamos verificar os valores máximos e mínimos. Calculando $ f $ nos pontos encontrados:
Para $ \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) $:
f
Para $ \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) $:
( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )

Resposta

Assim, a função $ f(x, y, z) = x + y + z $ atinge seu valor máximo $ \sqrt{3} $ e mínimo $ -\sqrt{3} $ nos pontos onde $ (x, y, z) $ é um vetor unitário paralelo ao gradiente $ \nabla f $.

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