Considere
com a restrição
. Mostre que
atinge seu máximo e mínimo nos pontos onde
é um vetor unitário paralelo ao vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y, z) = x + y + z $ e uma restrição que é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. Nosso objetivo é mostrar que essa função atinge seus valores máximos e mínimos nos pontos onde o vetor $ (x, y, z) $ é um vetor unitário paralelo ao gradiente de $ f $ (que é $ \nabla f $). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre otimização com restrições usando multiplicadores de Lagrange e a noção de gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente da função $ f $. O gradiente, $ \nabla f $, aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais:
Então, o gradiente de $ f $ é o vetor $ (1, 1, 1) $.
Passo 3
Agora, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para otimizar $ f $ sujeito à restrição $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. A ideia é encontrar um número $ \lambda $ tal que o gradiente de $ f $ seja paralelo ao gradiente da restrição. Formalmente, isso significa:
Passo 4
Calculando o gradiente da restrição $ g(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} $, temos:
Então, a equação fica:
Passo 5
Isso nos dá um sistema de equações:
Note que todas as componentes são iguais, o que implica que $ x = y = z $.
Passo 6
Como $ x = y = z $, podemos substituir na restrição $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $:
Então, os pontos críticos são $ \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) $ e $ \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) $.
Passo 7
Esses pontos são vetores unitários porque satisfazem $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $ e são paralelos ao gradiente $ \nabla f = (1, 1, 1) $, já que $ (x, y, z) $ é um múltiplo de $ (1, 1, 1) $.
Passo 8
Agora, vamos verificar os valores máximos e mínimos. Calculando $ f $ nos pontos encontrados:
Para $ \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) $:
Para $ \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) $:
Resposta
Assim, a função $ f(x, y, z) = x + y + z $ atinge seu valor máximo $ \sqrt{3} $ e mínimo $ -\sqrt{3} $ nos pontos onde $ (x, y, z) $ é um vetor unitário paralelo ao gradiente $ \nabla f $.