Determine, se existir, um limitante inferior e um limitante superior para as seguintes sequências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar um limitante inferior e um limitante superior para a sequência
. Aqui, estamos trabalhando com sequências numéricas e precisamos entender como os termos dessa sequência se comportam conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a sequência funciona. O termo geral é
. O
faz com que os termos alternem entre positivo e negativo conforme
aumenta:
- Para
par: , então o termo é positivo: . - Para
ímpar: , então o termo é negativo: .
Passo 3
Vamos analisar os dois casos separadamente:
-
Termos positivos (quando
é par): Conformeaumenta, diminui, então se aproxima de 1. -
Termos negativos (quando
é ímpar): Novamente, conformeaumenta, diminui, então se aproxima de -1.
Passo 4
Agora, vamos identificar os limitantes:
-
Limitante superior: É o maior valor que a sequência atinge. Observando os primeiros termos:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
O maior valor é, então esse será o limitante superior. - Para
-
Limitante inferior: É o menor valor que a sequência atinge. Observando os mesmos termos, o menor valor é
, então esse será o limitante inferior.
Resposta
A sequência
tem um limitante inferior igual a
e um limitante superior igual a
.