Verifique se a sequência dada é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por
. O objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um certo número conforme $ n $ aumenta) ou diverge (se ela não se aproxima de nenhum número específico). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e como calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma sequência é convergente. Dizemos que uma sequência $ {a_n} $ converge para um número $ L $ se, conforme $ n $ fica cada vez maior, os termos $ a_n $ ficam cada vez mais próximos de $ L $. Matematicamente, isso é representado por:
Se esse limite existe e é um número real, a sequência converge para $ L $. Caso contrário, a sequência diverge.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da sequência dada:
Para resolver esse tipo de limite, onde temos polinômios no numerador e denominador, uma técnica útil é dividir todos os termos pelo maior grau de $ n $ presente na expressão. Nesse caso, o maior grau de $ n $ é 1.
Passo 4
Dividindo cada termo por $ n $:
Simplificando as frações:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo conforme $ n $ tende ao infinito:
- $ \frac{1}{n} $ tende a 0, porque quanto maior $ n $, menor o valor dessa fração.
- $ \frac{5}{n} $ também tende a 0 pelo mesmo motivo.
Substituindo esses limites:
Resposta
A sequência
converge e seu limite é $ \frac{3}{4} $.