Determine os máximos e mínimos, caso existam, das funçōes abaixo:
f(x, y)=x^4+y^4-4 x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos máximos e mínimos da função $ f(x, y) = x^{4} + y^{4} - 4xy $. Isso está dentro do tópico de Cálculo Multivariável, mais especificamente sobre extremos relativos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar achar os pontos críticos da função e analisar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Então, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
x
E a derivada parcial em relação a $ y $:
partial fpartial x = 4x^3 - 4y

Passo 4

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
4x^3 - 4y = 0 (1)
4y^3 - 4x = 0 (2)
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 4:
x^3 - y = 0 (1)
y^3 - x = 0 (2)

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (1), temos:
x^3 = y
Substituindo $ y $ na equação (2):
y
Fatorando:
(y)^3 - x = 0 Rightarrow (x^3)^3 - x = 0 Rightarrow x^9 - x = 0
Então, as soluções para $ x $ são:
x(x^8 - 1) = 0

Passo 6

Agora, para cada valor de $ x $, encontramos $ y $ usando $ y = x^{3} $:
  • Se $ x = 0 $, então $ y = 0 $
  • Se $ x = 1 $, então $ y = 1 $
  • Se $ x = -1 $, então $ y = -1 $
Então, os pontos críticos são $ (0, 0) $, $ (1, 1) $ e $ (-1, -1) $.

Passo 7

Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, usamos a Matriz Hessiana. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
partial^2 fpartial x^2 = 12x^2
partial^2 fpartial y^2 = 12y^2
partial^2 fpartial x partial y = -4
A Matriz Hessiana $ H $ é:
H

Passo 8

Agora, calculamos o determinante da Hessiana $ D $ em cada ponto crítico:
D
Vamos avaliar $ D $ em cada ponto:
  1. Para $ (0, 0) $:
D = (12x^2)(12y^2) - (-4)^2 = 144x^2y^2 - 16
Como $ D < 0 $, esse ponto é um ponto de sela.
  1. Para $ (1, 1) $:
D
Como $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 12(1)^{2} = 12 > 0 $, esse é um ponto de mínimo relativo.
  1. Para $ (-1, -1) $:
(0, 0)
Da mesma forma, como $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 12(-1)^{2} = 12 > 0 $, esse também é um ponto de mínimo relativo.

Resposta

A função $ f(x, y) = x^{4} + y^{4} - 4xy $ possui um ponto de sela em $ (0, 0) $ e mínimos relativos nos pontos $ (1, 1) $ e $ (-1, -1) $.

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