Determine os máximos e mínimos, caso existam, das funçōes abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos máximos e mínimos da função $ f(x, y) = x^{4} + y^{4} - 4xy $. Isso está dentro do tópico de Cálculo Multivariável, mais especificamente sobre extremos relativos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar achar os pontos críticos da função e analisar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Então, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
E a derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 4:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (1), temos:
Substituindo $ y $ na equação (2):
Fatorando:
Então, as soluções para $ x $ são:
Passo 6
Agora, para cada valor de $ x $, encontramos $ y $ usando $ y = x^{3} $:
- Se $ x = 0 $, então $ y = 0 $
- Se $ x = 1 $, então $ y = 1 $
- Se $ x = -1 $, então $ y = -1 $
Então, os pontos críticos são $ (0, 0) $, $ (1, 1) $ e $ (-1, -1) $.
Passo 7
Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, usamos a Matriz Hessiana. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
A Matriz Hessiana $ H $ é:
Passo 8
Agora, calculamos o determinante da Hessiana $ D $ em cada ponto crítico:
Vamos avaliar $ D $ em cada ponto:
- Para $ (0, 0) $:
Como $ D < 0 $, esse ponto é um ponto de sela.
- Para $ (1, 1) $:
Como $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 12(1)^{2} = 12 > 0 $, esse é um ponto de mínimo relativo.
- Para $ (-1, -1) $:
Da mesma forma, como $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 12(-1)^{2} = 12 > 0 $, esse também é um ponto de mínimo relativo.
Resposta
A função $ f(x, y) = x^{4} + y^{4} - 4xy $ possui um ponto de sela em $ (0, 0) $ e mínimos relativos nos pontos $ (1, 1) $ e $ (-1, -1) $.