Considere que
e
são
-álgebras sobre o mesmo espaço amostral
. Provar ou refutar que
também é uma
-álgebra.
Passo 1
O enunciado afirma que
e
são
-álgebras sobre o mesmo espaço amostral
e pede para provar que
é também uma
-álgebra.
Para isso usamos a definição: uma família é
-álgebra se
Para isso usamos a definição: uma família
-
, -
, - sempre que
então .
Passo 2
Como
e
são
-álgebras, temos
e
. Logo
Passo 3
Seja
. Então
e
. Como cada
é
-álgebra, seus complementos satisfazem
Logo
, o que prova a estabilidade por complemento.
Passo 4
Seja
. Então para todo
,
Como cada
é
-álgebra, temos
Desse modo
mostrando a estabilidade por união contável.