Considere que F1 e F2 são sigma-álgebras sobre o mesmo espaço amostral Omega. Provar ou refutar que
F=F1 cap F2
também é uma sigma-álgebra.

Passo 1

O enunciado afirma que F1 e F2 são sigma-álgebras sobre o mesmo espaço amostral Omega e pede para provar que
F ;=;F1,cap,F2
é também uma sigma-álgebra.
Para isso usamos a definição: uma família GsubseteqP(Omega) é sigma-álgebra se
  1. OmegainG,
  2. AinGimplies A^cinG,
  3. sempre que (An)ninNsubseteqG então cupn=1^inftyAninG.

Passo 2

Como F1 e F2 são sigma-álgebras, temos OmegainF1 e OmegainF2. Logo
Omega;in;F1capF2 ;=;F

Passo 3

Seja AinF. Então AinF1 e AinF2. Como cada Fi é sigma-álgebra, seus complementos satisfazem
A^c;in;F1 e A^c;in;F2
Logo A^cinF1capF2=F, o que prova a estabilidade por complemento.

Passo 4

Seja (An)ninNsubseteqF. Então para todo n,
AninF1 e AninF2
Como cada Fi é sigma-álgebra, temos
cupn=1^inftyAn ;in;F1 e cupn=1^inftyAn ;in;F2
Desse modo
cupn=1^inftyAn ;in;F1capF2 ;=;F,
mostrando a estabilidade por união contável.

Resposta

F=F1capF2 é de fato uma sigma-álgebra.

Exercícios relacionados