Considere que Omega=a, b, c, d e F=emptyset, a, b, c, d, Omega. Verifique se F é uma sigma-álgebra sobre Omega.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço amostral
Omega = a,b,c,d
e a coleção
F = emptyset,a,b,c,d,Omega
Queremos verificar se F é uma sigma-álgebra sobre Omega. Lembrando que uma sigma-álgebra deve satisfazer três propriedades:
  1. emptysetinF e OmegainF.
  2. Se AinF então A^cinF.
  3. Se (An)n>=1subsetF então cupn=1^infty AninF.

Passo 2

Verificamos a primeira propriedade: de fato
emptysetinF e OmegainF.
Portanto o axioma (1) está satisfeito.

Passo 3

Testamos a fechabilidade por complemento (axioma 2). Por exemplo, tome A=ainF. Então
A^c = Omegasetminusa = b,c,d
Esse conjunto b,c,d não pertence a F. Logo F não é fechada por complementos e já falha como sigma-álgebra.

Resposta

F não é uma sigma-álgebra sobre Omega.

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