Considere que F1 e F2 são sigma-álgebras sobre o mesmo espaço amostral Omega. Provar ou refutar que
F=F1 cup F2
também é uma sigma-álgebra.

Passo 1

O enunciado pede para testar se, dadas duas σ-álgebras F1 e F2 num mesmo espaço amostral Omega, a união
F = F1cup F2
é sempre uma σ-álgebra. O conteúdo aqui é a definição e propriedades de σ-álgebras: fechamento por complementares e por uniões contáveis.

Passo 2

Recordando a definição: um conjunto Gsubseteq 2^Omega é σ-álgebra se satisfaz
  1. OmegainG.
  2. Para todo AinG tem-se A^cinG.
  3. Para toda sequência Ann=1^inftysubseteqG tem-se cupn=1^infty AninG.

Passo 3

Para que F=F1cupF2 seja σ-álgebra precisamos checar se ela herda essas três propriedades. Em particular, precisa ser fechada por complemento e por uniões de pares (e daí por contáveis). Mostraremos que, em geral, essa união falha em ser fechada sob união de dois conjuntos.

Passo 4

Construímos um contraexemplo simples. Tome Omega=1,2,3 e defina
F1=emptyset,1,2,3,Omega, F2=emptyset,2,1,3,Omega
É fácil verificar que cada uma é σ-álgebra (contém Omega, é fechada por complemento e por uniões contáveis — aqui só há finitas).

Passo 5

Então
F =F1cupF2 =emptyset,Omega,1,2,3,2,1,3
Observe que 1inF e 2inF, mas
1cup2=1,2
não pertence a F. Logo F não é fechada sob uniões finitas, muito menos contáveis, e portanto não é σ-álgebra.

Resposta

Afirmativa refutada: em geral F1cupF2 não é σ-álgebra.

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