Considere que
e
são
-álgebras sobre o mesmo espaço amostral
. Provar ou refutar que
também é uma
-álgebra.
Passo 1
O enunciado pede para testar se, dadas duas σ-álgebras
e
num mesmo espaço amostral
, a união
é sempre uma σ-álgebra. O conteúdo aqui é a definição e propriedades de σ-álgebras: fechamento por complementares e por uniões contáveis.
Passo 2
Recordando a definição: um conjunto
é σ-álgebra se satisfaz
-
. - Para todo
tem-se . - Para toda sequência
tem-se .
Passo 3
Para que
seja σ-álgebra precisamos checar se ela herda essas três propriedades. Em particular, precisa ser fechada por complemento e por uniões de pares (e daí por contáveis). Mostraremos que, em geral, essa união falha em ser fechada sob união de dois conjuntos.
Passo 4
Construímos um contraexemplo simples. Tome
e defina
É fácil verificar que cada uma é σ-álgebra (contém
, é fechada por complemento e por uniões contáveis — aqui só há finitas).
Passo 5
Então
Observe que
e
, mas
não pertence a
. Logo
não é fechada sob uniões finitas, muito menos contáveis, e portanto não é σ-álgebra.
Resposta
Afirmativa refutada: em geral
não é σ-álgebra.