Seja
uma
-álgebra sobre
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma
-álgebra em
, ou seja, satisfaz:
-
. - Se
então . - Se
então .
Queremos mostrar que, dadas
, vale também
A ideia é usar a lei de De Morgan e as propriedades de fechamento da
-álgebra.
Passo 2
Aplicamos a lei de De Morgan para reescrever a interseção como o complemento de uma união:
Passo 3
Pela propriedade de fechamento sob complemento (item 2), para todo
temos
Passo 4
Como cada
e
é fechada sob uniões contáveis (item 3), concluímos
Passo 5
Finalmente, usando de novo o fechamento sob complemento, o conjunto
pertence a
. Mas pela igualdade de De Morgan isso é exatamente
.