Seja F uma sigma-álgebra sobre Omega e A1, A2, cdots in F. Mostre que capn=1^infty An in F.

Passo 1

O enunciado diz que F é uma sigma-álgebra em Omega, ou seja, satisfaz:
  1. OmegainF.
  2. Se BinF então B^cinF.
  3. Se B1,B2,dotsinF então cupn=1^inftyBninF.
Queremos mostrar que, dadas A1,A2,dotsinF, vale também
capn=1^inftyAninF
A ideia é usar a lei de De Morgan e as propriedades de fechamento da sigma-álgebra.

Passo 2

Aplicamos a lei de De Morgan para reescrever a interseção como o complemento de uma união:
capn=1^inftyAn = l(cupn=1^inftyAn^cr)^c

Passo 3

Pela propriedade de fechamento sob complemento (item 2), para todo n temos
AninF Longrightarrow An^cinF

Passo 4

Como cada An^cinF e F é fechada sob uniões contáveis (item 3), concluímos
cupn=1^inftyAn^cinF

Passo 5

Finalmente, usando de novo o fechamento sob complemento, o conjunto
l(cupn=1^inftyAn^cr)^c
pertence a F. Mas pela igualdade de De Morgan isso é exatamente capn=1^inftyAn.

Resposta

capn=1^inftyAninF

Exercícios relacionados