Considere a família de curvas: 
  e respondas as seguintes questões:
- Qual a EDO que gera essa família de soluções?
 
- Qual é a EDO que gera a família de soluções ortogonais à essa família?
 
- Qual é a família de soluções ortogonais à família dada?
 
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas implícita
Ele pede três coisas:
- Qual a EDO cuja família geral de soluções é exatamente essa família (isto é, a EDO que gera essas curvas).
 - Qual a EDO que gera a família de curvas ortogonais a essa família.
 - Qual é a família de curvas ortogonais (ou seja, resolver a EDO do item 2 e escrever a família resultante).
 
As informações relevantes dadas são apenas a equação implícita acima e que 
  é um parâmetro real que caracteriza cada curva da família.
Passo 2
Primeiro precisamos obter uma equação diferencial que seja satisfeita por todas as curvas dessa família. Para isso usamos diferenciação implícita: como a equação envolve 
 , 
  e o parâmetro 
 , ao derivarmos em relação a 
  eliminamos o parâmetro 
  (pois 
  é constante) e obtemos uma relação envolvendo 
 . Vou explicar a ideia de diferenciação implícita: quando temos uma igualdade 
  e 
  depende de 
 , derivamos ambos os lados em relação a 
 , tratando 
  como função 
  e aplicando a regra da cadeia nas partes que dependem de 
 .
Aplicando isso a
derivamos termo a termo em relação a 
 .
Passo 3
Derivando em relação a 
 :
- 
.  - 
(regra da cadeia: derivada de é vezes , e há o 2 multiplicando).  - 
(similar).  
Como 
  é constante, 
 . Juntando:
Dividindo tudo por 
 :
Isolando 
 :
Podemos fatorar 
  no denominador para ficar mais claro:
Passo 4
Portanto, a EDO de primeira ordem que todas as curvas da família satisfazem é
Explicando por que isso é a EDO buscada: a família tinha um parâmetro 
 ; diferenciar uma vez gera uma relação sem 
 , e essa relação é uma equação diferencial cuja solução geral (ao integrar de volta) recupera, up to constante, a família original. Aqui chegamos a uma EDO explícita em 
 .
Passo 5
Agora vamos à família ortogonal. Conceito: duas curvas são ortogonais num ponto se suas tangentes nesse ponto são perpendiculares. Se uma curva tem declive (slope) 
 , a curva ortogonal tem declive 
  (o negativo do recíproco). Então, dado 
  da família original, substituímos por 
  para obter a EDO dos ortogonais.
Tomando a 
  que encontramos:
o declive ortogonal é
Passo 6
Assim a EDO que gera a família ortogonal é
Observação rápida: essa EDO é definida quando 
 ; pontos com 
  precisam ser tratados separadamente, mas a forma geral das ortogonais é obtida resolvendo a EDO para 
 .
Passo 7
Vamos resolver essa EDO. Ela é separável: podemos escrever os termos com 
  de um lado e os termos com 
  do outro. Reescrevendo:
A ideia de separação de variáveis é exatamente essa: colocar 
  multiplicado por uma função de 
  apenas no lado esquerdo e 
  multiplicado por função de 
  apenas no direito, e depois integrar ambos os lados.
Passo 8
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo precisamos integrar
Fazemos decomposição em frações parciais. Procuramos números tais que
Multiplicando por 
  obtemos
Comparando coeficientes: coeficiente de 
  dá 
 ; coeficiente de 
  dá 
 ; constante dá 
 . Logo 
 , 
 , 
 . Assim
Integramos:
No lado direito,
Passo 9
Igualando as integrais (absorvendo constantes num único 
 ):
Podemos manipular essa identidade logarítmica para obter uma forma mais direta da família. Subtraindo 
  e exponenciando:
Exponenciando e substituindo a constante por uma constante arbitrária 
 , obtemos
Eliminando valores absolutos e reescrevendo a constante (podemos permitir 
  real qualquer, positivo ou negativo), uma forma conveniente da família ortogonal é
onde 
  é constante real.
Passo 10
Podemos ainda escrever essa família de maneiras alternativas (por exemplo, isolando 
 ), mas a forma
é uma representação implícita simples e correta das curvas ortogonais (para 
 ). Essa família contém a constante de integração que caracteriza cada curva ortogonal.