Considere a família de curvas:
e respondas as seguintes questões:
- Qual a EDO que gera essa família de soluções?
- Qual é a EDO que gera a família de soluções ortogonais à essa família?
- Qual é a família de soluções ortogonais à família dada?
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas implícita
Ele pede três coisas:
- Qual a EDO cuja família geral de soluções é exatamente essa família (isto é, a EDO que gera essas curvas).
- Qual a EDO que gera a família de curvas ortogonais a essa família.
- Qual é a família de curvas ortogonais (ou seja, resolver a EDO do item 2 e escrever a família resultante).
As informações relevantes dadas são apenas a equação implícita acima e que
é um parâmetro real que caracteriza cada curva da família.
Passo 2
Primeiro precisamos obter uma equação diferencial que seja satisfeita por todas as curvas dessa família. Para isso usamos diferenciação implícita: como a equação envolve
,
e o parâmetro
, ao derivarmos em relação a
eliminamos o parâmetro
(pois
é constante) e obtemos uma relação envolvendo
. Vou explicar a ideia de diferenciação implícita: quando temos uma igualdade
e
depende de
, derivamos ambos os lados em relação a
, tratando
como função
e aplicando a regra da cadeia nas partes que dependem de
.
Aplicando isso a
derivamos termo a termo em relação a
.
Passo 3
Derivando em relação a
:
-
. -
(regra da cadeia: derivada de é vezes , e há o 2 multiplicando). -
(similar).
Como
é constante,
. Juntando:
Dividindo tudo por
:
Isolando
:
Podemos fatorar
no denominador para ficar mais claro:
Passo 4
Portanto, a EDO de primeira ordem que todas as curvas da família satisfazem é
Explicando por que isso é a EDO buscada: a família tinha um parâmetro
; diferenciar uma vez gera uma relação sem
, e essa relação é uma equação diferencial cuja solução geral (ao integrar de volta) recupera, up to constante, a família original. Aqui chegamos a uma EDO explícita em
.
Passo 5
Agora vamos à família ortogonal. Conceito: duas curvas são ortogonais num ponto se suas tangentes nesse ponto são perpendiculares. Se uma curva tem declive (slope)
, a curva ortogonal tem declive
(o negativo do recíproco). Então, dado
da família original, substituímos por
para obter a EDO dos ortogonais.
Tomando a
que encontramos:
o declive ortogonal é
Passo 6
Assim a EDO que gera a família ortogonal é
Observação rápida: essa EDO é definida quando
; pontos com
precisam ser tratados separadamente, mas a forma geral das ortogonais é obtida resolvendo a EDO para
.
Passo 7
Vamos resolver essa EDO. Ela é separável: podemos escrever os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Reescrevendo:
A ideia de separação de variáveis é exatamente essa: colocar
multiplicado por uma função de
apenas no lado esquerdo e
multiplicado por função de
apenas no direito, e depois integrar ambos os lados.
Passo 8
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo precisamos integrar
Fazemos decomposição em frações parciais. Procuramos números tais que
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes: coeficiente de
dá
; coeficiente de
dá
; constante dá
. Logo
,
,
. Assim
Integramos:
No lado direito,
Passo 9
Igualando as integrais (absorvendo constantes num único
):
Podemos manipular essa identidade logarítmica para obter uma forma mais direta da família. Subtraindo
e exponenciando:
Exponenciando e substituindo a constante por uma constante arbitrária
, obtemos
Eliminando valores absolutos e reescrevendo a constante (podemos permitir
real qualquer, positivo ou negativo), uma forma conveniente da família ortogonal é
onde
é constante real.
Passo 10
Podemos ainda escrever essa família de maneiras alternativas (por exemplo, isolando
), mas a forma
é uma representação implícita simples e correta das curvas ortogonais (para
). Essa família contém a constante de integração que caracteriza cada curva ortogonal.