Considere a família de curvas: 2 x^{2}+2 y^{2}+y^{4}=k, k \in R e respondas as seguintes questões:
  • Qual a EDO que gera essa família de soluções?
  • Qual é a EDO que gera a família de soluções ortogonais à essa família?
  • Qual é a família de soluções ortogonais à família dada?

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas implícita
2x^{2}+2y^{2}+y^{4}=k,\quad k\in\mathbb{R}.
Ele pede três coisas:
  1. Qual a EDO cuja família geral de soluções é exatamente essa família (isto é, a EDO que gera essas curvas).
  2. Qual a EDO que gera a família de curvas ortogonais a essa família.
  3. Qual é a família de curvas ortogonais (ou seja, resolver a EDO do item 2 e escrever a família resultante).
As informações relevantes dadas são apenas a equação implícita acima e que k é um parâmetro real que caracteriza cada curva da família.

Passo 2

Primeiro precisamos obter uma equação diferencial que seja satisfeita por todas as curvas dessa família. Para isso usamos diferenciação implícita: como a equação envolve x, y e o parâmetro k, ao derivarmos em relação a x eliminamos o parâmetro k (pois k é constante) e obtemos uma relação envolvendo \frac{dy}{dx}. Vou explicar a ideia de diferenciação implícita: quando temos uma igualdade F(x,y)=k e y depende de x, derivamos ambos os lados em relação a x, tratando y como função y(x) e aplicando a regra da cadeia nas partes que dependem de y.
Aplicando isso a
2x^{2}+2y^{2}+y^{4}=k,
derivamos termo a termo em relação a x.

Passo 3

Derivando em relação a x:
  • \frac{d}{dx}(2x^{2}) = 4x.
  • \frac{d}{dx}(2y^{2}) = 4y\frac{dy}{dx} (regra da cadeia: derivada de y^{2} é 2y vezes y', e há o 2 multiplicando).
  • \frac{d}{dx}(y^{4}) = 4y^{3}\frac{dy}{dx} (similar).
Como k é constante, \frac{d}{dx}k=0. Juntando:
4x + 4y\frac{dy}{dx} + 4y^{3}\frac{dy}{dx} = 0.
Dividindo tudo por 4:
x + \left(y + y^{3}\right)\frac{dy}{dx} = 0.
Isolando \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y + y^{3}}.
Podemos fatorar y no denominador para ficar mais claro:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y\left(1+y^{2}\right)}.

Passo 4

Portanto, a EDO de primeira ordem que todas as curvas da família satisfazem é
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y\left(1+y^{2}\right)}.
Explicando por que isso é a EDO buscada: a família tinha um parâmetro k; diferenciar uma vez gera uma relação sem k, e essa relação é uma equação diferencial cuja solução geral (ao integrar de volta) recupera, up to constante, a família original. Aqui chegamos a uma EDO explícita em \frac{dy}{dx}.

Passo 5

Agora vamos à família ortogonal. Conceito: duas curvas são ortogonais num ponto se suas tangentes nesse ponto são perpendiculares. Se uma curva tem declive (slope) m=\frac{dy}{dx}, a curva ortogonal tem declive \tilde{m} = -\frac{1}{m} (o negativo do recíproco). Então, dado \frac{dy}{dx} da família original, substituímos por -1/(\frac{dy}{dx}) para obter a EDO dos ortogonais.
Tomando a \frac{dy}{dx} que encontramos:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y(1+y^{2})},
o declive ortogonal é
\tilde{\frac{dy}{dx}} = -\frac{1}{-\dfrac{x}{y(1+y^{2})}} = \frac{y(1+y^{2})}{x}.

Passo 6

Assim a EDO que gera a família ortogonal é
\frac{dy}{dx} = \frac{y\left(1+y^{2}\right)}{x}.
Observação rápida: essa EDO é definida quando x\neq 0; pontos com x=0 precisam ser tratados separadamente, mas a forma geral das ortogonais é obtida resolvendo a EDO para x\neq 0.

Passo 7

Vamos resolver essa EDO. Ela é separável: podemos escrever os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Reescrevendo:
\frac{dy}{dx} = \frac{y(1+y^{2})}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y(1+y^{2})} = \frac{dx}{x}.
A ideia de separação de variáveis é exatamente essa: colocar dy multiplicado por uma função de y apenas no lado esquerdo e dx multiplicado por função de x apenas no direito, e depois integrar ambos os lados.

Passo 8

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo precisamos integrar
\int \frac{dy}{y(1+y^{2})}.
Fazemos decomposição em frações parciais. Procuramos números tais que
\frac{1}{y(1+y^{2})} = \frac{A}{y} + \frac{By + C}{1+y^{2}}.
Multiplicando por y(1+y^{2}) obtemos
1 = A(1+y^{2}) + (By+C)y = A + A y^{2} + B y^{2} + C y.
Comparando coeficientes: coeficiente de y C=0; coeficiente de y^{2} A+B=0; constante dá A=1. Logo A=1, B=-1, C=0. Assim
\frac{1}{y(1+y^{2})} = \frac{1}{y} - \frac{y}{1+y^{2}}.
Integramos:
\int\left(\frac{1}{y} - \frac{y}{1+y^{2}}\right)dy = \ln|y| - \frac{1}{2}\ln\left(1+y^{2}\right) + C.
No lado direito,
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C.

Passo 9

Igualando as integrais (absorvendo constantes num único C):
\ln|y| - \frac{1}{2}\ln\left(1+y^{2}\right) = \ln|x| + C.
Podemos manipular essa identidade logarítmica para obter uma forma mais direta da família. Subtraindo \ln|x| e exponenciando:
\ln\!\left(\frac{|y|}{\sqrt{1+y^{2}}}\right) - \ln|x| = C \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\left(\frac{|y|}{|x|\sqrt{1+y^{2}}}\right) = C.
Exponenciando e substituindo a constante por uma constante arbitrária C_{1}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, obtemos
\frac{|y|}{|x|\sqrt{1+y^{2}}} = C_{1}.
Eliminando valores absolutos e reescrevendo a constante (podemos permitir C real qualquer, positivo ou negativo), uma forma conveniente da família ortogonal é
\frac{y}{x\sqrt{1+y^{2}}} = C,
onde C é constante real.

Passo 10

Podemos ainda escrever essa família de maneiras alternativas (por exemplo, isolando y^{2}), mas a forma
\frac{y}{x\sqrt{1+y^{2}}} = C
é uma representação implícita simples e correta das curvas ortogonais (para x\neq 0). Essa família contém a constante de integração que caracteriza cada curva ortogonal.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y\left(1+y^{2}\right)}
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y\left(1+y^{2}\right)}{x}
\displaystyle \frac{y}{x\sqrt{1+y^{2}}}=C

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