Vou agora explicar o método de solução: para uma EDO linear w'+P(x)w=Q(x) usamos o fator integrante \mu(x)=\exp\!\big(\int P(x)\,dx\big). Multiplicando a equação por \mu transforma o lado esquerdo em \dfrac{d}{dx}(\mu w), permitindo integrar facilmente.
Passo 4
Calculemos o fator integrante. Observamos que o numerador de P(x) é exatamente a derivada do denominador:
Lembrando que w=e^{y}, obtemos a solução implícita/ explícita:
e^{y}=\frac{C-\ln|x|}{\sin x+e^{x}}.
Tomando logaritmo natural (lembrando que e^{y}>0, então a razão do lado direito deve ser positiva no domínio considerado), temos a forma explícita para y:
Condições de domínio: x\neq 0 (por \ln|x|), e \sin x+e^{x}\neq 0. Além disso, para y real é necessário \dfrac{C-\ln|x|}{\sin x+e^{x}}>0; isso impõe restrições sobre C e o intervalo de x, conforme a situação inicial.