Dê a solução geral da eguinte EDO:
\left(\operatorname{sen}(x) e^{y}+e^{x+y}\right) \frac{d y}{d x}=-\cos (x) e^{y}-e^{x+y}-\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada:
\left(\operatorname{sen}(x) e^{y}+e^{x+y}\right) \frac{d y}{d x}=-\cos (x) e^{y}-e^{x+y}-\frac{1}{x}.
Informações fornecidas e o que precisamos obter:
  • A equação é uma EDO de primeira ordem envolvendo x e y(x).
  • Há fatores e^{y} e e^{x+y} espalhados pela equação.
  • A tarefa é encontrar a expressão geral de y(x) (ou equivalente), com a constante de integração arbitrária.
  • Atenção: x aparece em denominador por \tfrac{1}{x}, então teremos que ter x\neq 0 no domínio da solução.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a equação de forma explícita para \dfrac{dy}{dx}. Factorizando e^{y} nos termos que o contêm temos:
\text{numerador}=-\cos(x)e^{y}-e^{x+y}-\frac{1}{x} = -e^{y}\big(\cos x+e^{x}\big)-\frac{1}{x}
e
\text{denominador}=\operatorname{sen}(x)e^{y}+e^{x+y}=e^{y}\big(\sin x+e^{x}\big).
Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{-e^{y}\big(\cos x+e^{x}\big)-\dfrac{1}{x}}{e^{y}\big(\sin x+e^{x}\big)}.
Dividindo numerador e denominador por e^{y} obtemos uma forma mais manejável:
\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos x+e^{x}}{\sin x+e^{x}}-\frac{e^{-y}}{x(\sin x+e^{x})}.
Essa forma já mostra dois termos: um que depende só de x e outro que envolve e^{-y}.

Passo 3

Vamos procurar uma substituição que simplifique a dependência em y. Note que aparece e^{-y}; uma boa ideia é usar
w(x)=e^{y(x)}.
Motivação: w transforma e^{-y} em 1/w e ainda relaciona w' a y' por w' = e^{y}y' = w\,y'. Agora expressamos a equação em w.
De w' = w\,\dfrac{dy}{dx} temos \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{w'}{w}. Substituindo na expressão do passo anterior:
\frac{w'}{w}=-\frac{\cos x+e^{x}}{\sin x+e^{x}}-\frac{1}{w}\cdot\frac{1}{x(\sin x+e^{x})}.
Multiplicando por w para eliminar denominadores em w:
w' = -w\cdot\frac{\cos x+e^{x}}{\sin x+e^{x}} - \frac{1}{x(\sin x+e^{x})}.
Reorganizando para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem em w:
w' + \frac{\cos x+e^{x}}{\sin x+e^{x}}\,w = -\frac{1}{x(\sin x+e^{x})}.
Portanto obtivemos uma EDO linear em w do tipo w' + P(x)w = Q(x), com
P(x)=\frac{\cos x+e^{x}}{\sin x+e^{x}},\qquad Q(x)=-\frac{1}{x(\sin x+e^{x})}.
Vou agora explicar o método de solução: para uma EDO linear w'+P(x)w=Q(x) usamos o fator integrante \mu(x)=\exp\!\big(\int P(x)\,dx\big). Multiplicando a equação por \mu transforma o lado esquerdo em \dfrac{d}{dx}(\mu w), permitindo integrar facilmente.

Passo 4

Calculemos o fator integrante. Observamos que o numerador de P(x) é exatamente a derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\big(\sin x+e^{x}\big)=\cos x+e^{x},
portanto
\int P(x)\,dx=\int\frac{\cos x+e^{x}}{\sin x+e^{x}}\,dx=\ln\big|\sin x+e^{x}\big|+C_0.
Escolhendo a constante C_0=0 para o fator integrante, obtemos
\mu(x)=\exp\!\big(\ln|\sin x+e^{x}|\big)=\sin x+e^{x},
assumindo \sin x+e^{x}>0 (ou usando valor absoluto quando necessário). Multiplicando a EDO em w por \mu temos:
(\sin x+e^{x})w' + (\cos x+e^{x})w = -\frac{1}{x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big((\sin x+e^{x})w\big), pois
\frac{d}{dx}\big((\sin x+e^{x})w\big) = (\sin x+e^{x})w' + (\cos x+e^{x})w.
Assim
\frac{d}{dx}\big((\sin x+e^{x})w\big) = -\frac{1}{x}.
Integramos ambos os lados em x:
(\sin x+e^{x})w = -\int\frac{1}{x}\,dx = -\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora isolamos w e voltamos à variável y. Temos
w(x)=\frac{-\ln|x|+C}{\sin x+e^{x}}=\frac{C-\ln|x|}{\sin x+e^{x}}.
Lembrando que w=e^{y}, obtemos a solução implícita/ explícita:
e^{y}=\frac{C-\ln|x|}{\sin x+e^{x}}.
Tomando logaritmo natural (lembrando que e^{y}>0, então a razão do lado direito deve ser positiva no domínio considerado), temos a forma explícita para y:
y(x)=\ln\!\left(\frac{C-\ln|x|}{\sin x+e^{x}}\right).
Condições de domínio: x\neq 0 (por \ln|x|), e \sin x+e^{x}\neq 0. Além disso, para y real é necessário \dfrac{C-\ln|x|}{\sin x+e^{x}}>0; isso impõe restrições sobre C e o intervalo de x, conforme a situação inicial.

Resposta

y(x)=\ln\!\left(\frac{C-\ln|x|}{\sin x+e^{x}}\right),\qquad C\in\mathbb{R},
com x\neq 0 e restrições de sinal para garantir que o argumento do logaritmo seja positivo.

Exercícios relacionados