Determine o domínio das seguintes funções: (2.5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
.
Informações dadas: a função é a raiz quadrada (principal) aplicada ao logaritmo natural de , isto é, o radicando é
.
Informações dadas: a função é a raiz quadrada (principal) aplicada ao logaritmo natural de
Passo 2
Regra importante sobre a raiz quadrada (mini-aula): a função raiz quadrada principal
só está definida para números reais não negativos. Em linguagem de desigualdade, se tivermos
então precisamos de
Aqui
é o que fica dentro da raiz. Portanto, no nosso caso precisamos ter
Expliquei isso para você lembrar: não se pode tirar raiz quadrada real de número negativo, porque o resultado não é um número real.
Passo 3
Mini-aula sobre o logaritmo natural: a função
só está definida para
. Ou seja, qualquer restrição que imponhamos sobre
deve também respeitar que
é estritamente positivo. Então, juntando com a condição do passo anterior, queremos todos os
tais que
Passo 4
Agora resolvemos a desigualdade
. Para “remover” o
usamos a função exponencial
, que é estritamente crescente (fica de lembrança: se
então
). Aplicando
aos dois lados obtemos equivalência:
Como
(definição inversa) e
, isso vira
Observe que essa conclusão já garante
, então a condição
do passo anterior está satisfeita automaticamente quando
.
Passo 5
Interpretação prática e checagem (exemplos para fixar):
- Se
, então e — tudo bem. - Se
, então e é bem definido. - Se
, então e não é real — portanto não está no domínio.
Portanto a solução é todos osmaiores ou iguais a .