Determine o domínio das seguintes funções: (2.5 pontos)
f(x)=\sqrt{\ln (x)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função \displaystyle f(x)=\sqrt{\ln(x)}.
Informações dadas: a função é a raiz quadrada (principal) aplicada ao logaritmo natural de x, isto é, o radicando é \ln(x).

Passo 2

Regra importante sobre a raiz quadrada (mini-aula): a função raiz quadrada principal \sqrt{\,\cdot\,} só está definida para números reais não negativos. Em linguagem de desigualdade, se tivermos \sqrt{A} então precisamos de
A \ge 0.
Aqui A é o que fica dentro da raiz. Portanto, no nosso caso precisamos ter
\ln(x) \ge 0.
Expliquei isso para você lembrar: não se pode tirar raiz quadrada real de número negativo, porque o resultado não é um número real.

Passo 3

Mini-aula sobre o logaritmo natural: a função \ln(x) só está definida para x>0. Ou seja, qualquer restrição que imponhamos sobre \ln(x) deve também respeitar que x é estritamente positivo. Então, juntando com a condição do passo anterior, queremos todos os x tais que
x>0 \quad\text{e}\quad \ln(x)\ge 0.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade \ln(x)\ge 0. Para “remover” o \ln usamos a função exponencial e^{(\cdot)}, que é estritamente crescente (fica de lembrança: se a<b então e^a<e^b). Aplicando e^{(\cdot)} aos dois lados obtemos equivalência:
\ln(x)\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad e^{\ln(x)} \ge e^{0}.
Como e^{\ln(x)}=x (definição inversa) e e^{0}=1, isso vira
x \ge 1.
Observe que essa conclusão já garante x>0, então a condição x>0 do passo anterior está satisfeita automaticamente quando x\ge 1.

Passo 5

Interpretação prática e checagem (exemplos para fixar):
  • Se x=1, então \ln(1)=0 e \sqrt{\ln(1)}=\sqrt{0}=0 — tudo bem.
  • Se x=2, então \ln(2)>0 e \sqrt{\ln(2)} é bem definido.
  • Se x=0{,}5, então \ln(0{,}5)<0 e \sqrt{\ln(0{,}5)} não é real — portanto 0{,}5 não está no domínio.
    Portanto a solução é todos os x maiores ou iguais a 1.

Resposta

[1,\infty)

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