Determine o domínio das seguintes funções: (2.5 pontos)
f(x)=\sqrt{x-\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função \displaystyle f(x)=\sqrt{x-\sqrt{x}}.
Informações dadas que são relevantes:
  • A função envolve duas raízes quadradas (uma interna \sqrt{x} e uma externa \sqrt{\;\cdot\;}).
  • Para a expressão ser real, os argumentos das raízes devem ser não negativos.

Passo 2

Vamos traduzir a condição “argumentos das raízes não negativos” em inequações.
A raiz interna \sqrt{x} exige que
x \ge 0.
A raiz externa exige que o seu argumento seja não negativo, isto é
x - \sqrt{x} \ge 0.
Portanto precisamos dos dois ao mesmo tempo:
x \ge 0 \quad\text{e}\quad x - \sqrt{x} \ge 0.

Passo 3

Para resolver a segunda desigualdade é conveniente fazer a substituição
t=\sqrt{x}.
Aqui \,t\ge 0 por definição de raiz quadrada. Substituindo, obtemos
x-\sqrt{x}\ge 0 \;\Longrightarrow\; t^2 - t \ge 0.

Passo 4

Agora resolvemos a inequação em t:
t^2 - t \ge 0.
Fatorando:
t^2 - t = t(t-1),
logo queremos
t(t-1) \ge 0.

Passo 5

Analisando o sinal do produto t(t-1): as raízes são t=0 e t=1. O produto é não negativo quando t\le 0 ou t\ge 1. Mas lembrando que t=\sqrt{x}\ge 0, a interseção com t\ge 0
t=0 \quad\text{ou}\quad t\ge 1.
Ou seja, t\in\{0\}\cup[1,\infty).

Passo 6

Voltando para a variável x com t=\sqrt{x}:
  • Se t=0 então x=0.
  • Se t\ge 1 então \sqrt{x}\ge 1, isto é x\ge 1.
    Portanto as soluções para x são
x=0 \quad\text{ou}\quad x\ge 1.

Passo 7

Fazendo checagens rápidas para ganhar confiança:
  • Para x=0: \sqrt{0-\sqrt{0}}=\sqrt{0}=0 (válido).
  • Para x=1: \sqrt{1-\sqrt{1}}=\sqrt{1-1}=\sqrt{0}=0 (válido).
  • Para x=0,25: \sqrt{0{,}25-\sqrt{0{,}25}}=\sqrt{0{,}25-0{,}5}=\sqrt{-0{,}25} (não real), então pontos entre 0 e 1 estritamente não valem.

Resposta

\{0\}\cup[1,\infty)

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