Determine o domínio das seguintes funções: (2.5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função
.
Informações dadas que são relevantes:
Informações dadas que são relevantes:
- A função envolve duas raízes quadradas (uma interna
e uma externa ). - Para a expressão ser real, os argumentos das raízes devem ser não negativos.
Passo 2
Vamos traduzir a condição “argumentos das raízes não negativos” em inequações.
A raiz interna exige que
A raiz interna
A raiz externa exige que o seu argumento seja não negativo, isto é
Portanto precisamos dos dois ao mesmo tempo:
Passo 3
Para resolver a segunda desigualdade é conveniente fazer a substituição
Aqui
por definição de raiz quadrada. Substituindo, obtemos
Passo 4
Agora resolvemos a inequação em
:
Fatorando:
logo queremos
Passo 5
Analisando o sinal do produto
: as raízes são
e
. O produto é não negativo quando
ou
. Mas lembrando que
, a interseção com
dá
Ou seja,
.
Passo 6
Voltando para a variável
com
:
- Se
então . - Se
então , isto é .
Portanto as soluções parasão
Passo 7
Fazendo checagens rápidas para ganhar confiança:
- Para
: (válido). - Para
: (válido). - Para
: (não real), então pontos entre e estritamente não valem.