Considere uma família a um parâmetro y=11+c1 e^-x de soluções de y^prime=y-y^2. Encontre uma solução para o PVI que consiste na equação diferencial e na condição y(0)=-1 / 3.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = y - y^2
e a família de soluções gerais
y(x) = 11 + c1e^-x
Queremos a solução particular que satisfaz a condição inicial y(0) = -tfrac13.

Passo 2

Impondo x=0 em y(x) obtemos
y(0) = 11 + c1 = -13
Resolvendo para c1:
1 + c1 = -3 Longrightarrow c1 = -4

Passo 3

Substituindo c1=-4 na solução geral, vem
y(x) = 11 - 4e^-x
Como y(0)=-tfrac13, essa fórmula vale para x tais que 1-4e^-xneq0 (em particular para x<ln4, onde a solução é contínua e satisfaz o PVI).

Resposta

y(x) = 11 - 4e^-x

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