Os valores de m para os quais a função y=e^m x é solução das equações
y^prime+2 y=0 e y^prime prime-5 y^prime+6 y=0
são, respectivamente:
(a) 2,2,3
(b) -2,-2,3
(c) 2,2,-3
(d) -2,2,3
(e) -2,-2,-3

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de m que fazem
  1. a função y=e^mx satisfazer a equação de primeira ordem
y' + 2y = 0
  1. a mesma função satisfazer a equação de segunda ordem
y'' - 5y' + 6y = 0
O método é usar o ansatz exponencial e montar a equação característica.

Passo 2

Para a equação
y' + 2y = 0
substituímos y=e^mx, logo y'=m,e^mx. Isso dá
m,e^mx + 2,e^mx = 0 Longrightarrow (m + 2),e^mx = 0 Longrightarrow m + 2 = 0
portanto
m = -2

Passo 3

Para a equação
y'' - 5y' + 6y = 0
temos y''=m^2e^mx e y'=m,e^mx. Substituindo:
m^2e^mx - 5m,e^mx + 6e^mx = 0 Longrightarrow (m^2 - 5m + 6),e^mx = 0 Longrightarrow m^2 - 5m + 6 = 0
Resolvendo a quadrática:
m = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12,
ou seja
m = 2 ou m = 3

Passo 4

Juntando os resultados: para y' + 2y=0 temos m=-2, e para y''-5y'+6y=0 temos m=2 ou m=3. Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) -2,2,3

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