Calcule os limites abaixo
lim x 1 3(1-x^2)-2(1-x^3)(1-x^2)(1-x^3)

Passo 1

O enunciado pede
limxto13(1-x^2)-2(1-x^3)(1-x^2)(1-x^3)
Isso é um caso de indeterminação 0/0, então vamos fatorar numerador e denominador para cancelar o fator comum.

Passo 2

Expandir e fatorar o numerador:
3(1-x^2)-2(1-x^3) =3-3x^2-2+2x^3 =2x^3-3x^2+1
Como 2cdot1^3-3cdot1^2+1=0, há fator (x-1). Dividindo, obtemos
2x^3-3x^2+1=(x-1)(2x^2-x-1)
E mais
2x^2-x-1=(x-1)(2x+1),
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3(1-x^2)-2(1-x^3)=(x-1)^2(2x+1)

Passo 3

Fatorar o denominador usando 1-x^2=-(x-1)(x+1) e 1-x^3=-(x-1)(x^2+x+1):
(1-x^2)(1-x^3) =(-1)^2(x-1)^2(x+1)(x^2+x+1) =(x-1)^2(x+1)(x^2+x+1)

Passo 4

Cancelar (x-1)^2 e obter expressão simplificada:
3(1-x^2)-2(1-x^3)(1-x^2)(1-x^3) =(x-1)^2(2x+1)(x-1)^2(x+1)(x^2+x+1) =2x+1(x+1)(x^2+x+1)
Agora basta substituir x=1:
2cdot1+1(1+1)(1^2+1+1)=32cdot3=12

Resposta

12

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