Seja x=c1 cos t+c2 sen t uma família a dois parâmetros de soluções de x^prime prime+x=0. Determine uma solução para o PVI que consiste na equação diferencial e nas condições:
x(0)=-1, x^prime(0)=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
x'' + x = 0
com as condições x(0) = -1 e x'(0) = 8.
O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos usar a solução geral em termos de cos t e sin t e então ajustar os parâmetros pelas condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + 1 = 0
As raízes são r = pm i, o que leva à solução geral
x(t) = c1cos t + c2sin t.

Passo 3

Calculamos a derivada
x'(t) = -,c1sin t + c2cos t
e aplicamos as condições iniciais em t=0:
x(0)=c1 = -1
x'(0)=c2 = 8
Logo c1=-1 e c2=8.

Passo 4

Substituindo c1=-1 e c2=8 na solução geral, obtemos a solução particular
x(t) = -cos t + 8sin t.

Resposta

x(t) = -cos t + 8sin t

Exercícios relacionados