Considere um sistema modelado por três EaD:
Omega:l x[k+2]+v[k+1]=4 e1[k]+e2[k] v[k+2]-v[k]+x[k]=2 e1[k] y[k]=v[k+2]-x[k+1]+e1[k]
A saída do sistema é y[k], e e1[k] e e2[k] são as entradas.
a) Determine a representação em espaço de estados para o sistema Omega;
b) Determine os parâmetros A, B, C, e D;
c) Qual a ordem dinâmica deste sistema?
d) Esse sistema é SISO, MISO, SIMO ou MIMO? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá um sistema discreto modelado por três equações em atraso (EaD), com estado interno nas variáveis x[k] e v[k], entradas e1[k], e2[k] e saída y[k]. O objetivo é montar a forma em espaço de estados
X[k+1] = A,X[k] + B,U[k], y[k] = C,X[k] + D,U[k],
onde U[k]=l(e1[k],e2[k]r)^T.

Passo 2

Escolhemos vetor de estado que reúna todas as grandezas atrasadas até ordem 1 para cada variável, de modo a expressar os termos em
Assim
Das equações originais:
Logo podemos escrever (X[k+1]=A,X[k]+B,U[k]].

Passo 3

Comparando termo a termo, obtemos
A = 0 & 0 & -1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1& 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 , B = 4 & 1 0 & 0 2 & 0 0 & 0

Passo 4

A saída é dada por
y[k] = v[k+2] - x[k+1] + e1[k]
Substituindo v[k+2]=v[k]-x[k]+2,e1[k], fica
y[k] = -,x[k+1];-;x[k];+;v[k];+;3,e1[k]
Em termos de X[k] e U[k]:
C = -1 & -1 & 0 & 1, D = 3 & 0

Passo 5

A ordem dinâmica é o número de estados, isto é dim X=4. Como há duas entradas ( e1,e2) e uma só saída ( y), o sistema é MISO (Multiple Input, Single Output).

Resposta

a) Em forma de espaço de estados:
X[k+1] = A,X[k] + B,U[k], y[k] = C,X[k] + D,U[k],
com X[k],U[k] definidos acima.
b)
A = 0 & 0 & -1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1& 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 , B = 4 & 1 0 & 0 2 & 0 0 & 0 , C = -1 & -1 & 0 & 1, D = 3 & 0
c) A ordem dinâmica é 4.
d) É um sistema MISO, pois tem múltiplas entradas ( e1,e2) e uma única saída ( y).

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