Considere o sistema descrito por:
Omega: x[k+1] & =[cc 1,1 & 1 -0,3 & 0 ] x[k]+[l 1 1 ] u[k] y[k] & =[ll 1 & -1 ] x(k)
É excitado pelas condições iniciais: x[0]=[ll0 & 0]^T, com u sendo o degrau unitário para k >= 0.
a) Qual a ordem dinâmica do sistema?
b) Determine Y[z] / U[z];
c) Determine y[k];
d) Verifique os resultados do item (b) usando o Matlab;
e) Esse sistema é SISO, MISO, SIMO ou MIMO? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema discreto em espaço de estados
x[k+1] = A,x[k] + B,u[k], y[k] = C,x[k],
com
A=1,1 & 1[6pt]-0,3 & 0, B=11, C=1 & -1,
condição inicial x[0]=00 e u[k]=1 para k>=0.
Conteúdos necessários: ordem dinâmica (dimensão de x), função de transferência via G(z)=C(zI-A)^-1B, resposta ao degrau por equação de diferença, verificação em Matlab e classificação SISO/MIMO.]

Passo 2

A ordem dinâmica é o número de variáveis de estado, ou seja, a dimensão de vec x. Aqui vec xin R^2, logo a ordem é
ordem = 2

Passo 3

Calculamos
G(z)=Y(z)U(z)=C,(zI - A)^-1B
Primeiro note
zI - A =z-1,1 & -1[3pt]0,3 & z,
det(zI-A) =(z-1,1)z -(-1)(0,3) = z^2 -1,1,z +0,3
O adjunto é
adj(zI-A) =z & 1[3pt]-0,3 & z-1,1,
logo
(zI-A)^-1 =1z^2 -1,1z +0,3 z & 1-0,3 & z-1,1
Multiplicando C,l(cdotsr)B:
M=(zI-A)^-1B =1z^2 -1,1z +0,3 z+1[3pt]z-1,4,
G(z) =1,(z+1)-1,(z-1,4)z^2 -1,1z +0,3 =2,4z^2 -1,1z +0,3 ]

Passo 4

Para achar
No tempo discreto isso dá
A solução geral é soma da homogênea e particular:
Para entrada constante, satisfaz
Usando as condições iniciais e (pois implica , e calculando ), temos
Resolvendo, achamos . Logo

Passo 5

Em Matlab bastaria:
ttA=[1.1 1; -0.3 0]; B=[1;1]; C=[1 -1]; D=0; ttsys = ss(A,B,C,D,1); tttf(sys)
e obtém-se exatamente
2,4z^2-1,1z+0,3

Passo 6

O sistema tem um único sinal de entrada u[k] e um único sinal de saída y[k]. Logo é um sistema SISO (Single Input Single Output).

Resposta

a) 2
b) Y(z)U(z)=2,4z^2-1,1z+0,3
c) y[k]=12 -60,(0,6)^k +48,(0,5)^k,;k>=0
d) Em Matlab com ss(A,B,C, 0,1) seguido de tf(sys) obtém-se o mesmo.
e) É SISO, pois tem um único u e um único y.

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