Considere o fato de que x=c1 cos y+c2 sen y é uma família a dois parâmetros de soluções de x "+x=0. Encontre uma solução para a PVI de segunda ordem consistindo nessa equação diferencial e nas condições iniciais dadas.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de equações diferenciais, especificamente de uma equação diferencial de segunda ordem: x'' + x = 0. A solução geral dessa equação é dada pela família x = c1 cos y + c2 sin y, que depende de dois parâmetros, c1 e c2. Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução específica que atenda às condições iniciais fornecidas: x(pi6) = 12 e x'(pi6) = 0. Para isso, vamos precisar usar as condições iniciais para determinar os valores de c1 e c2.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da solução geral para facilitar a aplicação das condições iniciais. A solução geral é:
x(y) = c1 cos y + c2 sin y
Derivando em relação a y, temos:
x'(y) = -c1 sin y + c2 cos y
Essa derivada nos permitirá aplicar a segunda condição inicial que envolve a velocidade, ou seja, a derivada de x em y = pi6.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições iniciais na solução geral e na sua derivada. Substituindo y = pi6 nas duas equações:
Para a posição:
x(pi6) = c1 cos(pi6) + c2 sin(pi6) = 12
E para a velocidade:
x'(pi6) = -c1 sin(pi6) + c2 cos(pi6) = 0
Essas duas equações formam um sistema que vamos resolver para encontrar os valores de c1 e c2.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
Primeira equação:
c1 cos(pi6) + c2 sin(pi6) = 12
Sabemos que cos(pi6) = raiz32 e sin(pi6) = 12, então substituindo:
c1 cdot raiz32 + c2 cdot 12 = 12 (1)
Segunda equação:
-c1 sin(pi6) + c2 cos(pi6) = 0
Substituindo os valores de seno e cosseno:
- c1 cdot 12 + c2 cdot raiz32 = 0 (2)
Agora, vamos resolver esse sistema. Da equação (2), podemos isolar uma das variáveis, por exemplo, c1:
- c12 + c2 raiz32 = 0 implies -c1 + c2 raiz3 = 0 implies c1 = c2 raiz3
Agora, substituímos c1 = c2 raiz3 na equação (1):
(c2 raiz3) cdot raiz32 + c2 cdot 12 = 12
Simplificando:
3 c22 + c22 = 12 implies 4 c22 = 12 implies 2 c2 = 12 implies c2 = 14
Agora, voltando para c1 = c2 raiz3:
c1 = 14 raiz3

Passo 5

Com os valores de c1 e c2 encontrados, substituímos de volta na solução geral:
x(y) = c1 cos y + c2 sin y = raiz34 cos y + 14 sin y
Essa é a solução particular que satisfaz tanto a equação diferencial x'' + x = 0 quanto as condições iniciais dadas.

Resposta

A solução da PVI é:
x(y) = raiz34 cos y + 14 sin y

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