Considere o fato de que
sen
é uma família a dois parâmetros de soluções de
. Encontre uma solução para a PVI de segunda ordem consistindo nessa equação diferencial e nas condições iniciais dadas.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de equações diferenciais, especificamente de uma equação diferencial de segunda ordem:
. A solução geral dessa equação é dada pela família
, que depende de dois parâmetros,
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução específica que atenda às condições iniciais fornecidas:
e
. Para isso, vamos precisar usar as condições iniciais para determinar os valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da solução geral para facilitar a aplicação das condições iniciais. A solução geral é:
Derivando em relação a
, temos:
Essa derivada nos permitirá aplicar a segunda condição inicial que envolve a velocidade, ou seja, a derivada de
em
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições iniciais na solução geral e na sua derivada. Substituindo
nas duas equações:
Para a posição:
E para a velocidade:
Essas duas equações formam um sistema que vamos resolver para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
Primeira equação:
Sabemos que
e
, então substituindo:
Segunda equação:
Substituindo os valores de seno e cosseno:
Agora, vamos resolver esse sistema. Da equação (2), podemos isolar uma das variáveis, por exemplo,
:
Agora, substituímos
na equação (1):
Simplificando:
Agora, voltando para
:
Passo 5
Com os valores de
e
encontrados, substituímos de volta na solução geral:
Essa é a solução particular que satisfaz tanto a equação diferencial
quanto as condições iniciais dadas.
Resposta
A solução da PVI é: