Sejam gamma uma curva regular fechada simples, orientada, que não passa por (0,0), e f(x, y)=ln (x^2+ y^2 ). Mostre que se n é o vetor normal unitário exterior à curva gamma, então a integral de linha
integralgamma(nabla f cdot n) d s
assume apenas os valores 0 ou 4 pi, caso a curva gamma envolva ou não a origem.

Passo 1

Temos uma curva fechada simples regular gamma, que não passa por (0,0), e queremos calcular integralgamma(nabla fcdotn),ds para f(x,y)=ln(x^2+y^2). Vamos usar o Teorema da Divergência no plano e a propriedade da Laplaciana de ln(x^2+y^2).

Passo 2

Para começar, calculamos o gradiente de f. Como f(x,y)=ln(x^2+y^2), tem-se
nabla f(x,y)=l(2xx^2+y^2,,2yx^2+y^2r)

Passo 3

Aplicamos o Teorema da Divergência (ou Teorema de Green na forma normal): se D é a região limitada por gamma e n é o normal exterior a gamma, então
integralgamma(nabla fcdotn),ds = integral duplaD nablacdot(nabla f),dA = integral duplaD De

Passo 4

Observamos que f é C^2 em R^2setminus0. Fora da origem ln(x^2+y^2)=2ln r é função harmônica, logo
De

Passo 5

No entanto, em termos de distribuições sabe-se que para r=raizx^2+y^2
De
e portanto
f(x,y)=2ln rimplies De

Passo 6

Finalmente, integrando sobre D temos
integral duplaDDe
Logo
integralgamma(nabla fcdotn),ds=4pi se gamma envolve a origem, e zero caso contrário.

Resposta

0 se a curva não envolver a origem, e 4pi se a curva envolver a origem.

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