Sejam
uma curva regular fechada simples, orientada, que não passa por
, e
). Mostre que se
é o vetor normal unitário exterior à curva
, então a integral de linha
assume apenas os valores 0 ou
, caso a curva
envolva ou não a origem.
Passo 1
Temos uma curva fechada simples regular
, que não passa por
, e queremos calcular
para
. Vamos usar o Teorema da Divergência no plano e a propriedade da Laplaciana de
.
Passo 2
Para começar, calculamos o gradiente de
. Como
, tem-se
Passo 3
Aplicamos o Teorema da Divergência (ou Teorema de Green na forma normal): se
é a região limitada por
e
é o normal exterior a
, então
Passo 4
Observamos que
é
em
. Fora da origem
é função harmônica, logo
Passo 5
No entanto, em termos de distribuições sabe-se que para
e portanto
Passo 6
Finalmente, integrando sobre
temos
Logo
se
envolve a origem, e zero caso contrário.