Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=e^x i+x z e^y j+x y e^z k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial F(x, y, z) = e^x i + x z e^y j + x y e^z k é conservativo. Se for, devemos encontrar uma função f tal que F = nabla f. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente e as condições para um campo ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial F = P i + Q j + R k é conservativo se existir uma função escalar f tal que:
F = nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Isso significa que:
P = partial fpartial x, Q = partial fpartial y, R = partial fpartial z

Passo 3

Outra maneira de verificar se o campo é conservativo é checando se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, as condições necessárias são:
partial Ppartial y = partial Qpartial x, partial Ppartial z = partial Rpartial x, partial Qpartial z = partial Rpartial y
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo F.

Passo 4

Identificando as componentes:
  • P = e^x
  • Q = x z e^y
  • R = x y e^z
Agora, calculamos:
  1. partial Ppartial y = partial e^xpartial y = 0
  2. partial Qpartial x = partial (x z e^y)partial x = z e^y
Como 0 neq z e^y, já podemos concluir que uma das condições não é satisfeita.

Passo 5

Como uma das condições das derivadas parciais cruzadas não é satisfeita, isso significa que o campo vetorial F não é conservativo. Portanto, não existe uma função f tal que F = nabla f para esse campo.

Resposta

O campo vetorial F(x, y, z) = e^x i + x z e^y j + x y e^z k não é conservativo.

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