Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, devemos encontrar uma função
tal que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente e as condições para um campo ser conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se existir uma função escalar
tal que:
Isso significa que:
Passo 3
Outra maneira de verificar se o campo é conservativo é checando se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, as condições necessárias são:
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo
.
Passo 4
Identificando as componentes:
Agora, calculamos:
Como
, já podemos concluir que uma das condições não é satisfeita.
Passo 5
Como uma das condições das derivadas parciais cruzadas não é satisfeita, isso significa que o campo vetorial
não é conservativo. Portanto, não existe uma função
tal que
para esse campo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.