Considere o fato de que
sen
é uma família a dois parâmetros de soluções de
. Encontre uma solução para a PVI de segunda ordem consistindo nessa equação diferencial e nas condições iniciais dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente uma equação diferencial de segunda ordem. A ideia é encontrar uma solução particular para a EDO $ x’’ + x = 0 $ que também satisfaça as condições iniciais dadas: $ x\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} $ e $ x’\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a solução geral da EDO e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, a equação diferencial que temos é $ x’’ + x = 0 $. Isso é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral para essa equação é uma combinação linear das funções seno e cosseno:
Aqui, $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_{1} $ e $ C_{2} $. Primeiro, substituímos $ y = \frac{\pi}{4} $ na solução geral:
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{2}{\sqrt{2}} $ para simplificar:
Passo 4
Agora, precisamos da derivada de $ x(y) $ para aplicar a segunda condição inicial. Derivando $ x(y) $:
Substituindo $ y = \frac{\pi}{4} $:
Sabemos que $ x’\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} $, então:
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{2}{\sqrt{2}} $:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Agora, substituindo $ C_{2} = 3 $ na primeira equação:
Resposta
Portanto, a solução particular da PVI é: