Considere o fato de que x=c1 cos y+c2 sen y é uma família a dois parâmetros de soluções de x "+x=0. Encontre uma solução para a PVI de segunda ordem consistindo nessa equação diferencial e nas condições iniciais dadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente uma equação diferencial de segunda ordem. A ideia é encontrar uma solução particular para a EDO $ x’’ + x = 0 $ que também satisfaça as condições iniciais dadas: $ x\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} $ e $ x’\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a solução geral da EDO e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, a equação diferencial que temos é $ x’’ + x = 0 $. Isso é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral para essa equação é uma combinação linear das funções seno e cosseno:
x'' + x = 0
Aqui, $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_{1} $ e $ C_{2} $. Primeiro, substituímos $ y = \frac{\pi}{4} $ na solução geral:
C1
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
C2
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{2}{\sqrt{2}} $ para simplificar:
y = pi4

Passo 4

Agora, precisamos da derivada de $ x(y) $ para aplicar a segunda condição inicial. Derivando $ x(y) $:
x(y)
Substituindo $ y = \frac{\pi}{4} $:
x(y)
Sabemos que $ x’\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} $, então:
x^prime(y) = -C1 sin y + C2 cos y
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{2}{\sqrt{2}} $:
y = pi4

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
C1 + C2 = 2 -C1 + C2 = 4
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
2C2 = 6 implies C2 = 3
Agora, substituindo $ C_{2} = 3 $ na primeira equação:
C2 = 3

Resposta

Portanto, a solução particular da PVI é:
x(y) = -cos y + 3,sin y

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