Nos problemas a seguir, x=c1 e^omega+c2 e^-omega é uma família a dois parâmetros de soluções da ED de segunda ordem x^prime prime-x=0. Encontre uma solução para o problema de valor inicial que consiste na equação diferencial e nas condições dadas.
x(0)=0, x^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial de segunda ordem x''-x=0, cuja solução geral é dada por x(omega)=c1e^omega+c2e^-omega, sujeita às condições x(0)=0 e x'(0)=0.

Passo 2

Aplicamos a condição x(0)=0. Como x(0)=c1e^0+c2e^0=c1+c2, temos
c1+c2=0,
o que implica c2=-c1.

Passo 3

Agora aplicamos a condição x'(0)=0. Primeiro calculamos x'(omega)=c1e^omega-c2e^-omega. Em omega=0 isso dá x'(0)=c1-c2, logo
c1-c2=0

Passo 4

Substituindo c2=-c1 na equação acima, obtemos
c1-(-c1)=2c1=0
que leva a c1=0 e, portanto, c2=0.

Passo 5

Substituindo c1=0 e c2=0 na solução geral, concluímos que a solução do problema de valor inicial é a trivial.

Resposta

x(omega)=0

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