Considere um feixe de átomos com spin 1/2 atravessando um campo magnético não uniforme. Determine:
- os valores possíveis de
.
- o número de feixes observados.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que é dado.
- O enunciado dá: um feixe de átomos cujo spin total vale
atravessa um campo magnético não uniforme (caso padrão do experimento de Stern–Gerlach). - O enunciado pede:
- Determinar os valores possíveis de
(a componente do momento magnético ao longo do eixo ). - Determinar o número de feixes observados após a passagem pelo campo magnético não uniforme.
- Determinar os valores possíveis de
Passo 2
Conceito básico sobre spin e projeção: para uma partícula com spin
o operador de projeção
tem autovalores
, onde
toma os
valores
.
- No caso
os valores possíveis de são - Assim os autovalores de
são
Explicando de forma bem simples: isso significa que, ao medir a componente
do spin, só podem sair dois resultados discretos correspondentes a “spin para cima” e “spin para baixo”.
Passo 3
Relação entre momento magnético e spin: geralmente o momento magnético total do átomo (ou da partícula) é proporcional ao spin por uma constante chamada razão giromagnética
. Escrevemos:
Daí a componente
vale
- Substituindo os autovalores de
obtemos os autovalores possíveis de :
ou, de forma compacta,
Observação prática: para elétrons livres normalmente usa-se
(com
e
o magneton de Bohr), levando a
. Mas a forma geral
é a resposta correta sem assumir detalhes do átomo.
Passo 4
Como isso se traduz no experimento (intuição física): num campo magnético não uniforme com gradiente ao longo de
a força sobre cada átomo é dada por
Como
só pode assumir os dois valores
, há duas forças distintas possíveis, produzindo duas direções de deflexão (uma para cima, outra para baixo, dependendo do sinal de
e do gradiente).
Passo 5
Conclusão sobre o número de feixes: cada valor possível de
corresponde a um feixe separado. Como há exatamente dois valores possíveis para
no caso
, serão observados dois feixes no detector (os dois ramos do Stern–Gerlach).
Resposta
Dois feixes.