Considere um feixe de átomos com spin 1/2 atravessando um campo magnético não uniforme. Determine:
  • os valores possíveis de \mu_{z}.
  • o número de feixes observados.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que é dado.
  • O enunciado dá: um feixe de átomos cujo spin total vale s=\tfrac{1}{2} atravessa um campo magnético não uniforme (caso padrão do experimento de Stern–Gerlach).
  • O enunciado pede:
    1. Determinar os valores possíveis de \mu_{z} (a componente do momento magnético ao longo do eixo z).
    2. Determinar o número de feixes observados após a passagem pelo campo magnético não uniforme.

Passo 2

Conceito básico sobre spin e projeção: para uma partícula com spin s o operador de projeção S_{z} tem autovalores \hbar m_{s}, onde m_{s} toma os 2s+1 valores -s,-s+1,\dots,s.
  • No caso s=\tfrac{1}{2} os valores possíveis de m_{s} são m_{s} = +\tfrac{1}{2}\quad\text{e}\quad m_{s} = -\tfrac{1}{2}.
  • Assim os autovalores de S_{z} são S_{z} = \hbar m_{s} = +\frac{\hbar}{2}\quad\text{e}\quad -\frac{\hbar}{2}.
Explicando de forma bem simples: isso significa que, ao medir a componente z do spin, só podem sair dois resultados discretos correspondentes a “spin para cima” e “spin para baixo”.

Passo 3

Relação entre momento magnético e spin: geralmente o momento magnético total do átomo (ou da partícula) é proporcional ao spin por uma constante chamada razão giromagnética \gamma. Escrevemos:
\vec{\mu} = \gamma\,\vec{S}.
Daí a componente z vale
\mu_{z}=\gamma S_{z}.
  • Substituindo os autovalores de S_{z} obtemos os autovalores possíveis de \mu_{z}: \mu_{z} = \gamma\left(+\frac{\hbar}{2}\right)\quad\text{e}\quad \mu_{z} = \gamma\left(-\frac{\hbar}{2}\right),
ou, de forma compacta,
\mu_{z} = \pm \gamma\,\frac{\hbar}{2}.
Observação prática: para elétrons livres normalmente usa-se \gamma = -g\mu_{B}/\hbar (com g\approx2 e \mu_{B} o magneton de Bohr), levando a \mu_{z}=\pm \tfrac{g}{2}\mu_{B}. Mas a forma geral \pm\gamma\hbar/2 é a resposta correta sem assumir detalhes do átomo.

Passo 4

Como isso se traduz no experimento (intuição física): num campo magnético não uniforme com gradiente ao longo de z a força sobre cada átomo é dada por
F_{z} = \mu_{z}\,\frac{\partial B_{z}}{\partial z}.
Como \mu_{z} só pode assumir os dois valores \pm \gamma\hbar/2, há duas forças distintas possíveis, produzindo duas direções de deflexão (uma para cima, outra para baixo, dependendo do sinal de \gamma e do gradiente).

Passo 5

Conclusão sobre o número de feixes: cada valor possível de \mu_{z} corresponde a um feixe separado. Como há exatamente dois valores possíveis para \mu_{z} no caso s=\tfrac{1}{2}, serão observados dois feixes no detector (os dois ramos do Stern–Gerlach).

Resposta

\mu_{z}=\pm \gamma\,\dfrac{\hbar}{2}
Dois feixes.

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