Mostre que a energia de interação spin-órbita pode ser escrita como
Usando operadores de momento angular, reescreva
em termos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar (físico/qualitativamente) por que a energia de interação spin-órbita pode ser escrita como
. - Usando operadores de momento angular, reescrever
em termos de e .
Informações que vamos usar (tudo que o enunciado fornece implicitamente ou que é padrão nesta derivação):
-
é o operador de momento angular total. - Para um campo elétrico central
(potencial central), e no regime não-relativístico, um elétron em movimento vê, na sua moldura, um campo magnético efetivo . - O momento magnético de spin da partícula é proporcional a
, logo a energia de interação magnética é , que envolve . - Usaremos a relação clássica (não-relativística)
para ligar a .
Passo 2
Derivação física (mostrando a proporcionalidade
), passo a passo e explicando cada ponto.
- Movimento → campo magnético efetivo.
Pelo efeito da transformação de campos eletromagnéticos entre referenciais (primeira ordem em), um elétron que se move com velocidade em um campo elétrico percebe um campo magnético proporcional a
(Isto é uma aproximação não-relativística; a derivação completa inclui fatores numéricos e a correção de Thomas, mas a estrutura vetorial fica assim.)
- Energia magnética do spin.
O momento magnético de spiné proporcional a . A energia de interação magnética é
- Para um potencial central (caso típico de átomo),
. Então
Agora use
. Note que
. Assim
- Substituindo em
obtemos
Portanto, a forma estrutural da interação é
(Obs.: sinais e fatores numéricos dependem de constantes como
e da correção de Thomas
; aqui interessa mostrar a dependência vetorial e a motivação física.)
Passo 3
Agora vamos reescrever algebraicamente
em termos de
.
Começamos da definição do operador total
Elevando ao quadrado (produto escalar do vetor com ele mesmo),
Passo 4
Expandindo o quadrado: como componentes de
e
comutam entre si (
porque agem em espaços diferentes), a expansão é direta:
Passo 5
Isolando
da igualdade anterior:
logo
Passo 6
Interpretação prática (útil na prova): se um estado é autoestado simultâneo de
com autovalores
, então o autovalor de
é
Exemplo rápido para elétron com
:
- Para
obtém-se . - Para
obtém-se .
Isso é a origem do acasalamento spin-órbita e do desdobramento fino (fine structure) nos níveis atômicos.