Mostre que a energia de interação spin-órbita pode ser escrita como
H_{S O} \propto \mathbf{L} \cdot \mathbf{S}
Usando operadores de momento angular, reescreva \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} em termos de \mathbf{J}^{2}, \mathbf{L}^{2} e \mathbf{S}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar (físico/qualitativamente) por que a energia de interação spin-órbita pode ser escrita como H_{S O} \propto \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}.
  • Usando operadores de momento angular, reescrever \mathbf{L}\cdot\mathbf{S} em termos de \mathbf{J}^{2}, \mathbf{L}^{2} e \mathbf{S}^{2}.
Informações que vamos usar (tudo que o enunciado fornece implicitamente ou que é padrão nesta derivação):
  • \mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S} é o operador de momento angular total.
  • Para um campo elétrico central \mathbf{E}=\mathbf{E}(r)\,\hat{\mathbf{r}} (potencial central), e no regime não-relativístico, um elétron em movimento vê, na sua moldura, um campo magnético efetivo \mathbf{B}_{\text{eff}}\propto \mathbf{v}\times\mathbf{E}.
  • O momento magnético de spin da partícula é proporcional a \mathbf{S}, logo a energia de interação magnética é -\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}_{\text{eff}}, que envolve \mathbf{S}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{E}).
  • Usaremos a relação clássica (não-relativística) \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}=m\,\mathbf{r}\times\mathbf{v} para ligar \mathbf{v}\times\mathbf{E} a \mathbf{L}.

Passo 2

Derivação física (mostrando a proporcionalidade H_{S O}\propto\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}), passo a passo e explicando cada ponto.
  1. Movimento → campo magnético efetivo.
    Pelo efeito da transformação de campos eletromagnéticos entre referenciais (primeira ordem em v/c), um elétron que se move com velocidade \mathbf{v} em um campo elétrico \mathbf{E} percebe um campo magnético proporcional a
\mathbf{B}_{\text{eff}}\propto \mathbf{v}\times\mathbf{E}.
(Isto é uma aproximação não-relativística; a derivação completa inclui fatores numéricos e a correção de Thomas, mas a estrutura vetorial fica assim.)
  1. Energia magnética do spin.
    O momento magnético de spin \boldsymbol{\mu}_S é proporcional a \mathbf{S}. A energia de interação magnética é
U=-\boldsymbol{\mu}_S\cdot\mathbf{B}_{\text{eff}}\propto \mathbf{S}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{E}).
  1. Para um potencial central (caso típico de átomo), \mathbf{E}=\mathcal{E}(r)\,\hat{\mathbf{r}}. Então
\mathbf{v}\times\mathbf{E}=\mathcal{E}(r)\,\mathbf{v}\times\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathcal{E}(r)}{r}\,\mathbf{v}\times\mathbf{r}.
Agora use \mathbf{L}=m\,\mathbf{r}\times\mathbf{v}. Note que \mathbf{v}\times\mathbf{r}=-\mathbf{r}\times\mathbf{v}=-\dfrac{1}{m}\mathbf{L}. Assim
\mathbf{v}\times\mathbf{E}=-\frac{\mathcal{E}(r)}{m r}\,\mathbf{L}.
  1. Substituindo em U obtemos
U\propto \mathbf{S}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{E}) \propto \mathbf{S}\cdot\mathbf{L} = \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}.
Portanto, a forma estrutural da interação é
H_{S O}\propto \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}.
(Obs.: sinais e fatores numéricos dependem de constantes como e,m,c e da correção de Thomas 1/2; aqui interessa mostrar a dependência vetorial e a motivação física.)

Passo 3

Agora vamos reescrever algebraicamente \mathbf{L}\cdot\mathbf{S} em termos de \mathbf{J}^{2},\mathbf{L}^{2},\mathbf{S}^{2}.
Começamos da definição do operador total
\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}.
Elevando ao quadrado (produto escalar do vetor com ele mesmo),
\mathbf{J}^{2}=(\mathbf{L}+\mathbf{S})^{2}.

Passo 4

Expandindo o quadrado: como componentes de \mathbf{L} e \mathbf{S} comutam entre si ( [\!L_i,S_j\!]=0 porque agem em espaços diferentes), a expansão é direta:
\mathbf{J}^{2}=\mathbf{L}^{2}+\mathbf{S}^{2}+2\,\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}.

Passo 5

Isolando \mathbf{L}\cdot\mathbf{S} da igualdade anterior:
2\,\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}=\mathbf{J}^{2}-\mathbf{L}^{2}-\mathbf{S}^{2},
logo
\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}=\tfrac{1}{2}\bigl(\mathbf{J}^{2}-\mathbf{L}^{2}-\mathbf{S}^{2}\bigr).

Passo 6

Interpretação prática (útil na prova): se um estado é autoestado simultâneo de \mathbf{J}^{2},\mathbf{L}^{2},\mathbf{S}^{2} com autovalores \hbar^{2}j(j+1),\hbar^{2}l(l+1),\hbar^{2}s(s+1), então o autovalor de \mathbf{L}\cdot\mathbf{S} é
\langle \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\rangle = \tfrac{\hbar^{2}}{2}\bigl(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\bigr).
Exemplo rápido para elétron com s=\tfrac{1}{2}:
  • Para j=l+\tfrac{1}{2} obtém-se \langle \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\rangle = \tfrac{\hbar^{2}}{2}\,l.
  • Para j=l-\tfrac{1}{2} obtém-se \langle \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\rangle = -\tfrac{\hbar^{2}}{2}\,(l+1).
    Isso é a origem do acasalamento spin-órbita e do desdobramento fino (fine structure) nos níveis atômicos.

Resposta

H_{S O}\propto \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}
\displaystyle \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}=\tfrac{1}{2}\bigl(\mathbf{J}^{2}-\mathbf{L}^{2}-\mathbf{S}^{2}\bigr)

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