Considere uma fibra óptica monomodo ID de diâmetro
\\\\mathrm{d}=6 \mu \mathrm{m}, que ao ser operada num comprimento de onda
\lambda=1.3 \mu \mathrm{~m} apresenta uma atenuação de
\quad 0,5 \mathrm{~dB} \mathrm{~km}^{-1}. Admitindo-se que a fonte óptica é um LD com uma largura de banda v=600 \mathrm{MHz}, calcule:
a) A potência de espalhamento Brillouin.
b) A potência de espalhamento Raman.

Passo 1

  • O enunciado fornece:
    • diâmetro da fibra: d=6\\ \mu\mathrm{m};
    • comprimento de onda de operação: \lambda=1{,}3\\ \mu\mathrm{m};
    • atenuação: 0{,}5\\ \mathrm{dB\\ km^{-1}};
    • fonte LD com largura de banda: v=600\\ \mathrm{MHz}.
  • O enunciado pede:
    • (a) calcular a potência de espalhamento Brillouin (interpreto aqui como a potência limite (threshold) para ocorrência de espalhamento Brillouin estimado na fibra, i.e., potência de limiar de espalhamento estimada);
    • (b) calcular a potência de espalhamento Raman (interpreto analogamente como limiar de espalhamento Raman).
  • Observação importante (sem pedir mais dados): o enunciado não dá comprimento da fibra nem coeficientes de ganho não-lineares ( g_B e g_R). Para avançar precisamos usar valores típicos de literatura e assumir que a fibra é suficientemente longa de modo que o comprimento efetivo possa ser aproximado por L_{\mathrm{eff}}\approx 1/\alpha (isto é razoável para fibras com perdas pequenas e para estimativas de limiar). Vou explicitar e justificar as constantes típicas que vou usar ao longo da resolução.

Passo 2

  • Primeiro vamos transformar a atenuação dada em dB/km para a forma linear (em Np/m) porque ela serve para calcular o comprimento efetivo L_{\mathrm{eff}}.
  • Dados: \text{atenuação} = 0{,}5\\ \mathrm{dB\\ km^{-1}}.çãConvertemos para \mathrm{dB/m}: \alpha_{\mathrm{dB/m}} = \frac{0{,}5}{1000} = 0{,}0005\\ \mathrm{dB\\ m^{-1}}.
  • Conversão de \mathrm{dB} para \mathrm{Np}: 1\\ \mathrm{Np} = 8{,}686\\ \mathrm{dB}. Assim \alpha_{\mathrm{Np/m}} = \frac{\alpha_{\mathrm{dB/m}}}{8{,}686}e portanto \alpha_{\mathrm{Np/m}} = \frac{0{,}0005}{8{,}686} \approx 5{,}755\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{-1}}.Explico: a atenuação em Np/m ( \alpha) aparece na expressão de potência P(z)=P(0)e^{-\alpha z}.
  • Comprimento efetivo: para fibras longas (ou para estimativa de ordem de grandeza) usamos L_{\mathrm{eff}} \approx \frac{1}{\alpha_{\mathrm{Np/m}}}.Calculando: L_{\mathrm{eff}} \approx \frac{1}{5{,}755\times 10^{-5}}\\ \mathrm{m} \approx 1{,}7375\times 10^{4}\\ \mathrm{m} = 17{,}375\\ \mathrm{km}.Comentário prático: esse L_{\mathrm{eff}} é uma característica da perda; não significa que a fibra tem exatamente esse comprimento, mas serve para estimar o efeito acumulado de ganho não-linear ao longo da fibra.

Passo 3

  • Agora calculamos a área efetiva da fibra A_{\mathrm{eff}}. Como a fibra é monomodo e foi dado o diâmetro do núcleo d, aproximamos a área pela área do círculo do núcleo: A_{\mathrm{eff}} \approx \pi\left(\frac{d}{2}\right)^{2}.Substituindo d=6\\ \mu\mathrm{m}=6\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}: A_{\mathrm{eff}} = \pi\left(3\times 10^{-6}\right)^{2} = \pi\cdot 9\times 10^{-12} = 2{,}827433\ldots\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}}.Para fins numéricos usarei A_{\mathrm{eff}} \approx 2{,}8274\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

  • Conceito e fórmula do limiar de espalhamento Brillouin (SBS):
    • O limiar de espalhamento Brillouin estimado em fibra monomodo, para fonte quase-monocromática, é comumente dado aproximadamente por P_{\mathrm{th,B}} \approx \frac{21\\ A_{\mathrm{eff}}}{g_{B}\\ L_{\mathrm{eff}}},onde:
      • P_{\mathrm{th,B}} é a potência de limiar (em W);
      • A_{\mathrm{eff}} é a área efetiva (em \mathrm{m^{2}});
      • g_{B} é o coeficiente de ganho Brillouin (em \mathrm{m\\ W^{-1}});
      • L_{\mathrm{eff}} é o comprimento efetivo (em m).
    • Se a fonte tem largura de linha finita, o limiar aumenta porque a interação Brillouin é seletiva em frequência. Para \Delta\nu_{\mathrm{laser}} maior que a largura de ganho Brillouin \Delta\nu_{B}, o limiar escala aproximadamente por \dfrac{\Delta\nu_{\mathrm{laser}}}{\Delta\nu_{B}}.
    • Assim, com uma fonte de largura v (vou usar \Delta\nu_{\mathrm{laser}}=v) e assumindo \Delta\nu_{\mathrm{laser}}\gg\Delta\nu_{B}, usamos P_{\mathrm{th,B}} \approx \frac{21\\ A_{\mathrm{eff}}}{g_{B}\\ L_{\mathrm{eff}}}\cdot\frac{\Delta\nu_{\mathrm{laser}}}{\Delta\nu_{B}}.
  • Valores típicos (literatura para sílica):
    • coeficiente Brillouin: g_{B}\approx 5\times 10^{-11}\\ \mathrm{m\\ W^{-1}} (valor típico em torno de 1{,}0\times 10^{-11} a 6\times 10^{-11}, usarei 5\times 10^{-11} como representação típica);
    • largura intrínseca do ganho Brillouin: \Delta\nu_{B}\approx 30\\ \mathrm{MHz} (valor típico entre 20 e 50\\ \mathrm{MHz});
    • largura da fonte: \Delta\nu_{\mathrm{laser}}=v=600\\ \mathrm{MHz} (dado).
  • Justificativa das escolhas: sem esses valores não conseguimos número; escolhi valores típicos de fibras de sílica a 1{,}3\\ \mu\mathrm{m}. Os resultados dão ordem de grandeza útil para provas/estimativas.

Passo 5

  • Calcule passo a passo P_{\mathrm{th,B}}.
    • Primeiro calcule o termo base \dfrac{21 A_{\mathrm{eff}}}{g_{B} L_{\mathrm{eff}}}: 21\,A_{\mathrm{eff}} = 21\times 2{,}8274\times 10^{-11} = 5{,}93754\times 10^{-10}\\ \mathrm{m^{2}}.
g_{B}\,L_{\mathrm{eff}} = 5\times 10^{-11}\times 1{,}7375\times 10^{4} = 8{,}6875\times 10^{-7}\\ \mathrm{m\\ W^{-1}}.
\frac{21 A_{\mathrm{eff}}}{g_{B} L_{\mathrm{eff}}} = \frac{5{,}93754\times 10^{-10}}{8{,}6875\times 10^{-7}} \approx 6{,}837\times 10^{-4}\\ \mathrm{W}.
  • Agora multiplica pela razão de larguras \dfrac{\Delta\nu_{\mathrm{laser}}}{\Delta\nu_{B}}=\dfrac{600}{30}=20: P_{\mathrm{th,B}} \approx 6{,}837\times 10^{-4}\times 20 = 1{,}3674\times 10^{-2}\\ \mathrm{W}.
  • Em unidades mais usuais: P_{\mathrm{th,B}} \approx 0{,}01367\\ \mathrm{W} = 13{,}67\\ \mathrm{mW}.
  • Interpretação: com as hipóteses e valores de g_{B} e \Delta\nu_{B} escolhidos, o limiar de espalhamento Brillouin fica na ordem de dezenas de miliwatts.

Passo 6

  • Agora o espalhamento Raman (SRS). Fórmula típica de limiar para Raman é análoga, com constante numérica ligeiramente diferente; uma forma comumente usada é P_{\mathrm{th,R}} \approx \frac{16\\ A_{\mathrm{eff}}}{g_{R}\\ L_{\mathrm{eff}}},onde g_{R} é o coeficiente de ganho Raman (em \mathrm{m\\ W^{-1}}).
  • Valor típico para sílica: g_{R}\approx 1\times 10^{-13}\\ \mathrm{m\\ W^{-1}}(ordem de 10^{-13}\\ \mathrm{m\\ W^{-1}} dependendo do comprimento de onda e polarização).
  • Não há fator de correção de largura de linha tão importante como no Brillouin para a estimativa de ordem de grandeza do limiar Raman (a largura Raman é muito maior e o mecanismo difere), então usaremos a fórmula direta acima.

Passo 7

  • Calcule P_{\mathrm{th,R}}:
    • Primeiro o numerador: 16\,A_{\mathrm{eff}} = 16\times 2{,}8274\times 10^{-11} = 4{,}52384\times 10^{-10}\\ \mathrm{m^{2}}.
    • Denominador: g_{R}\,L_{\mathrm{eff}} = 1\times 10^{-13}\times 1{,}7375\times 10^{4} = 1{,}7375\times 10^{-9}\\ \mathrm{m\\ W^{-1}}.
    • Dividindo: P_{\mathrm{th,R}} = \frac{4{,}52384\times 10^{-10}}{1{,}7375\times 10^{-9}} \approx 0{,}2604\\ \mathrm{W}.
    • Em unidades práticas: P_{\mathrm{th,R}} \approx 0{,}2604\\ \mathrm{W} = 260{,}4\\ \mathrm{mW}.
  • Interpretação: o limiar de espalhamento Raman é da ordem de algumas centenas de miliwatts, bem maior que o limiar Brillouin calculado (isso é consistente com a prática: SBS tende a ocorrer a potências menores que SRS em condições típicas).

Passo 8

  • Resumo das hipóteses e limitações:
    • Usei g_{B}=5\times 10^{-11}\\ \mathrm{m\\ W^{-1}}, \Delta\nu_{B}=30\\ \mathrm{MHz} e g_{R}=1\times 10^{-13}\\ \mathrm{m\\ W^{-1}}. Esses são valores típicos de sílica, mas variam com o tipo de fibra e com o comprimento de onda.
    • Assumi L_{\mathrm{eff}}\approx 1/\alpha com \alpha obtido da atenuação dada — isto fornece uma estimativa independente do comprimento físico real da fibra.
    • Os resultados são estimativas de ordem de grandeza para os limiares (thresholds) de espalhamento estímulado; se a questão quisesse potência espontânea de espalhamento (outro conceito), seria necessária outra abordagem e outros dados.
  • Motivação final: não se assuste com a quantidade de constantes — o procedimento padrão é (i) converter perdas; (ii) calcular A_{\mathrm{eff}}; (iii) aplicar fórmula de limiar com valores típicos de g. Respira, você já conseguiu ver o passo-a-passo.

Resposta

P_{\mathrm{th,B}}\approx 1{,}367\times 10^{-2}\\ \mathrm{W}=13{,}67\\ \mathrm{mW}\n
P_{\mathrm{th,R}}\approx 2{,}604\times 10^{-1}\\ \mathrm{W}=260{,}4\\ \mathrm{mW}

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