Considere um fio de cobre com diâmetro de 3 mm e 15 m de comprimento. A superfície externa do fio está exposta a uma corrente de ar a (rho=8900 kg / m^3 ; e=385 J /(cq^circ C), k=400 W)(mm ^circ C) V) com um coeficiente convectivo igual a Tinfty=26^circ C. A resistência elétrica do fio é de 135 ohms e uma corrente elétrica de 1.2 ampére é estabelecida no fio num determinado instante.
Determine a taxa de variação de temperatura com o tempo no material do fio no instante onde a corrente começa a fluir pelo mesmo. (2 pontos)

Passo 1

Beleza, então o que temos? Um fio de cobre (ρ=8900 kg/m³, c=385 J/(kg·°C), k=400 W/(m·°C)) de diâmetro D=3 mm e comprimento L=15 m. Ele tá sob uma corrente de ar a T∞=26 °C com coeficiente de convecção h=18 W/(m²·°C). A resistência elétrica do fio é R=135 Ω e passa uma corrente I=1,2 A.
Conteúdo da matéria: equilíbrio de energia no regime transiente usando o método da capacidade concentrada (“lumped capacitance”). Precisamos das fórmulas de geração de calor elétrico, de convecção, da massa do fio e da equação
m·c·(dT/dt) = Pₙᵍ – P_conv.

Passo 2

Calcular a potência elétrica gerada no fio:
Pₙᵍ = I²·R
Em LaTeX:

Substituindo:
.

Passo 3

Calcular a massa do fio:
  1. Área da seção transversal:
A = pi D^24 = pi (0,003)^24 approx 7,07times10^-6,rm m^2
  1. Volume:
V = Acdot L = 7,07times10^-6times15 approx 1,06times10^-4,rm m^3
  1. Massa:
m = rho,V = 8900times1,06times10^-4approx0,944 rm kg

Passo 4

Montar o balanço de energia (modelo lumped):
m,c,dTdt = Prm >=n - Prm conv,
onde
Prm conv = h,As,(T - Tinfty),
e As = pi D,L = pi times0,003times15 approx0,1413 rm m^2 é a área externa do fio:
m,c,dTdt|t=0 = Prm >=n
No instante inicial , então . Logo:

Passo 5

Isolar dTdt|t=0 = Prm >=nm,c = 194,40,944 times 385 approx 194,4363,4 approx0,535 rm °C/s e substituir números:

Resposta

A taxa de variação de temperatura inicial do fio é aproximadamente 0,535 °C/s.

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