Considere um fio de cobre com diâmetro de 3 mm e 15 m de comprimento. A superfície externa do fio está exposta a uma corrente de ar a com um coeficiente convectivo igual a . A resistência elétrica do fio é de 135 ohms e uma corrente elétrica de 1.2 ampére é estabelecida no fio num determinado instante.
Determine a taxa de variação de temperatura com o tempo no material do fio no instante onde a corrente começa a fluir pelo mesmo. (2 pontos)
Passo 1
Beleza, então o que temos? Um fio de cobre (ρ=8900 kg/m³, c=385 J/(kg·°C), k=400 W/(m·°C)) de diâmetro D=3 mm e comprimento L=15 m. Ele tá sob uma corrente de ar a T∞=26 °C com coeficiente de convecção h=18 W/(m²·°C). A resistência elétrica do fio é R=135 Ω e passa uma corrente I=1,2 A.
Conteúdo da matéria: equilíbrio de energia no regime transiente usando o método da capacidade concentrada (“lumped capacitance”). Precisamos das fórmulas de geração de calor elétrico, de convecção, da massa do fio e da equação
m·c·(dT/dt) = Pₙᵍ – P_conv.
Passo 2
Calcular a potência elétrica gerada no fio:
Pₙᵍ = I²·R
Em LaTeX:
Substituindo: .
Passo 3
Calcular a massa do fio:
Área da seção transversal:
Volume:
Massa:
Passo 4
Montar o balanço de energia (modelo lumped):
onde
e é a área externa do fio:
No instante inicial , então . Logo:
Passo 5
Isolar dTdt|t=0 = Prm >=nm,c = 194,40,944 times 385 approx 194,4363,4 approx0,535 rm °C/s e substituir números:
Resposta
A taxa de variação de temperatura inicial do fio é aproximadamente 0,535 °C/s.