Considere um fio de cobre com diâmetro de 3 mm e 15 m de comprimento. A superfície externa do fio está exposta a uma corrente de ar a (rho=8900 kg / m^3 ; e=385 J /(cq^circ C), k=400 W)(mm ^circ C) V) com um coeficiente convectivo igual a Tinfty=26^circ C. A resistência elétrica do fio é de 135 ohms e uma corrente elétrica de 1.2 ampére é estabelecida no fio num determinado instante.
Baseando-se no conceito de raio crítico de isolamento, e considerando o emprego de uma borracha cuja condutividade térmica é igual a h=18 W /(m^2, C), determine quanto deveria ser a espessura do isolamento para permitir que o fio trabalhasse com a máxima dissipação de potência. Qual seria a nova corrente elétrica que poderia percorrer o fio, se a temperatura superficial calculada na letra b) fosse mantida e o isolamento proposto fosse adotado? (4 pontos)

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: temos um fio de cobre (diâmetro 3 mm, comprimento 15 m, resistência elétrica 135 Ω) passando uma corrente de 1,2 A. O fio troca calor por convecção com o ar (h = 18 W/m²·°C, T∞ = 26 °C). Queremos, com uma camada de borracha (kₒₛ = 0,09 W/m·°C), achar a espessura de isolamento que dá a máxima dissipação (ou seja, o raio crítico). Depois, mantendo a mesma temperatura de superfície do fio (aquela que você descobriria na “letra b”), qual nova corrente dá pra passar.
Conteúdo: transferência de calor por convecção e condução em cilindro, raio crítico de isolamento, resistência térmica, potência P = I²R.

Passo 2

Calcular o raio exterior do fio (r₁) e o raio crítico do isolamento (r_cr):
  • r₁ = d/2 = 3 mm/2 = 1,5 mm = 0,0015 m
  • r_cr = kₒₛ / h = = 0,005 m

Passo 3

A espessura ótima do isolamento é a diferença entre r_cr e r₁:
t = rrm cr - r1 = 0,005 - 0,0015 = 0,0035 m = 3,5 mm

Passo 4

Antes de isolar, a potência dissipada com 1,2 A é
P = I^2 R = (1,2)^2 cdot 135 = 194,4 W
A área de convecção do fio nu vale
A = pi d L = pi cdot 0,003 cdot 15 approx 0,1414 m^2
Então a diferença de temperatura entre a superfície e o ar é
De
Logo a T_s (superfície do fio nu) fica
Ts = Tinfty + De

Passo 5

Agora com o isolamento de r₂ = r_cr = 0,005 m, calculamos a resistência térmica total mínima (cond+conv):
  • R_cond = .
  • R_conv =
  • R_tot = R_cond + R_conv ≈ 0,1420 + 0,1179 = 0,2599 K/W.

Passo 6

Mantendo T_s = 102,4 °C e T∞ = 26 °C, a potência agora é
Prm nova = Ts - TinftyRrm tot = 102,4 - 260,2599 approx 294,0 W
Daí a corrente possível passa a ser
Irm nova = raizPrm novaR = raiz294135 approx 1,48 A

Resposta

Espessura de isolamento ≈ 3,5 mm.
Nova corrente ≈ 1,48 A.

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