Calcule
\int_{\gamma} \frac{-y}{4 x^{2}+y^{2}} d x+\frac{x}{4 x^{2}+y^{2}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma} \frac{-y}{4 x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{4 x^{2}+y^{2}}\,dy.
Informações explícitas extraídas do enunciado:
  • A forma diferencial é P\,dx+Q\,dy com
P(x,y)=\frac{-y}{4x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{x}{4x^{2}+y^{2}}.
  • O denominador 4x^{2}+y^{2} anula-se somente em (x,y)=(0,0). Portanto a forma está bem definida em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
  • O enunciado não especifica se \gamma é fechada ou não; a integral comporta-se de maneira diferente se \gamma for curva fechada (ou se atravessa o ponto singular (0,0)). Vou tratar os casos relevantes: curva fechada sem passar por (0,0) e curva qualquer que evite (0,0).

Passo 2

Verificar se a forma é fechada (isto facilita decidir se existe potencial). Calcular as derivadas parciais \partial Q/\partial x e \partial P/\partial y.
Calcule \partial Q/\partial x. Para Q(x,y)=\dfrac{x}{4x^{2}+y^{2}} usa-se a regra do quociente:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{(1)(4x^{2}+y^{2})-x(8x)}{(4x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{4x^{2}+y^{2}-8x^{2}}{(4x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-4x^{2}+y^{2}}{(4x^{2}+y^{2})^{2}}.
Calcule \partial P/\partial y. Para P(x,y)=-\dfrac{y}{4x^{2}+y^{2}} também pela regra do quociente:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{(-1)(4x^{2}+y^{2})-(-y)(2y)}{(4x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-4x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{(4x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-4x^{2}+y^{2}}{(4x^{2}+y^{2})^{2}}.
Como
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}
a forma é fechada em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Explicação curta: forma fechada significa que localmente existe potencial; porém, em domínios não simplesmente conexos (como \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}) uma forma fechada pode não ser globalmente exata, e então integrais sobre curvas fechadas podem ser não nulas.

Passo 3

Fazer uma mudança de variáveis inteligente para reconhecer a forma como uma múltipla de d\theta (a forma angular). Tome
u=2x,\qquad v=y.
Então
du=2\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{2},\qquad dv=dy.
A expressão do integrando em (u,v) fica:
\frac{-y}{4x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{4x^{2}+y^{2}}\,dy =\frac{-v}{u^{2}+v^{2}}\cdot\frac{du}{2}+\frac{u/2}{u^{2}+v^{2}}\,dv.
Fatorando 1/2:
=\frac{1}{2}\,\frac{-v\,du+u\,dv}{u^{2}+v^{2}}.

Passo 4

Reconhecer a forma angular. No plano (u,v) a 1-forma
\frac{-v\,du+u\,dv}{u^{2}+v^{2}}
é exatamente d\theta, onde \theta é o argumento da complexa u+iv (ou seja \theta=\arg(u+iv)). Portanto a forma original vale
\frac{-y}{4x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{4x^{2}+y^{2}}\,dy=\frac{1}{2}\,d\theta\quad\text{com }\theta=\arg(2x+iy).
Consequência imediata:
  • Para qualquer curva \gamma que evite (0,0) e seja parametrizada de t=a até t=b,
\int_{\gamma}\frac{-y}{4x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{4x^{2}+y^{2}}\,dy =\frac{1}{2}\bigl(\theta(b)-\theta(a)\bigr),
onde \theta(t)=\arg\bigl(2x(t)+i\,y(t)\bigr). Atenção: \arg é multivalorada, então o valor depende da descontinuidade de ramo escolhida — isso corresponde ao número de voltas inteiras feitas em torno de (0,0).

Passo 5

Valor no caso de curva fechada. Se \gamma é fechada, então \theta(b)-\theta(a) é 2\pi k, onde k\in\mathbb{Z} é o índice (número de voltas ou número de enrolamentos, ou winding number) de \gamma em torno de (0,0). Portanto, para \gamma fechada que não atravessa (0,0),
\int_{\gamma}\frac{-y}{4x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{4x^{2}+y^{2}}\,dy =\frac{1}{2}\cdot 2\pi k=\pi k,
onde k é o índice de \gamma em relação ao ponto (0,0). Observações finais:
  • Se \gamma é simples e orientada positivamente em torno de (0,0) uma vez, então k=1 e a integral vale \pi.
  • Se \gamma atravessa o ponto (0,0), a integral não está definida (singularidade no integrando).

Resposta

Se \gamma é fechada e não passa por (0,0): \pi k, onde k\in\mathbb{Z} é o índice (winding number) de \gamma em relação a (0,0).\n
Se \gamma é um caminho de t=a a t=b que evita (0,0): \dfrac{1}{2}\bigl(\arg(2x(b)+i y(b))-\arg(2x(a)+i y(a))\bigr).

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