Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
Informações explícitas extraídas do enunciado:
- A forma diferencial é
com
- O denominador
anula-se somente em . Portanto a forma está bem definida em . - O enunciado não especifica se
é fechada ou não; a integral comporta-se de maneira diferente se for curva fechada (ou se atravessa o ponto singular ). Vou tratar os casos relevantes: curva fechada sem passar por e curva qualquer que evite .
Passo 2
Verificar se a forma é fechada (isto facilita decidir se existe potencial). Calcular as derivadas parciais
e
.
Calcule
. Para
usa-se a regra do quociente:
Calcule
. Para
também pela regra do quociente:
Como
a forma é fechada em
. Explicação curta: forma fechada significa que localmente existe potencial; porém, em domínios não simplesmente conexos (como
) uma forma fechada pode não ser globalmente exata, e então integrais sobre curvas fechadas podem ser não nulas.
Passo 3
Fazer uma mudança de variáveis inteligente para reconhecer a forma como uma múltipla de
(a forma angular). Tome
Então
A expressão do integrando em
fica:
Fatorando
:
Passo 4
Reconhecer a forma angular. No plano
a 1-forma
é exatamente
, onde
é o argumento da complexa
(ou seja
). Portanto a forma original vale
Consequência imediata:
- Para qualquer curva
que evite e seja parametrizada de até ,
onde
. Atenção:
é multivalorada, então o valor depende da descontinuidade de ramo escolhida — isso corresponde ao número de voltas inteiras feitas em torno de
.
Passo 5
Valor no caso de curva fechada. Se
é fechada, então
é
, onde
é o índice (número de voltas ou número de enrolamentos, ou winding number) de
em torno de
. Portanto, para
fechada que não atravessa
,
onde
é o índice de
em relação ao ponto
. Observações finais:
- Se
é simples e orientada positivamente em torno de uma vez, então e a integral vale . - Se
atravessa o ponto , a integral não está definida (singularidade no integrando).
Resposta
Se
é fechada e não passa por
:
, onde
é o índice (winding number) de
em relação a
.\n
Se é um caminho de
a
que evita
:
.
Se