Considere um fio infinito e uma espira retangular, de lados com tamanhos a e b, posicionados a uma distância c um do outro. Considere que há uma corrente \vec{I}=I \hat{y} no fio infinito. A espira é composta por um material elástico que permite sua deformação em qualquer direção.
Determine a força eletromotriz gerada na espira, considerando que seu tamanho perpendicular à direção da corrente do fio é modificado no tempo segundo a equação x(t)=b\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right), onde x(t) representa o comprimento da espira. Qual a corrente induzida na espira pelo fio, se sua resistência é R ? Qual é a direção da corrente?

Passo 1

O enunciado descreve uma espira retangular de lados a (paralelo ao fio) e x(t) (perpendicular ao fio), situada no plano xy a uma distância mínima c de um fio retilíneo infinito que carrega corrente \vec I=I\,\hat y. O material da espira permite que o lado perpendicular à direção do fio varie conforme
x(t)=b\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).
O objetivo é usar a Lei de Faraday–Lenz e o campo magnético de um fio reto para achar a força eletromotriz induzida \varepsilon(t), depois a corrente induzida i(t) quando a resistência da espira é R, e, finalmente, determinar seu sentido.

Passo 2

O campo magnético gerado pelo fio reto, a uma distância radial r dele, vale
B(r)=\frac{\mu_0\,I}{2\pi\,r},
e seu vetor é tangente às circunferências em torno do fio. No plano z=0 (onde está a espira), \vec B é perpendicular ao plano da espira e para dentro (sentido -\hat z). O fluxo magnético através da espira é
\Phi(t)=\iint_{\text{espira}}\vec B\cdot d\vec A =\int_{y=0}^{a}\!\int_{x=c}^{c+x(t)}\bigl(-B(x)\bigr)\,dx\,dy =-\frac{\mu_0 I\,a}{2\pi}\int_{c}^{c+x(t)}\frac{dx}{x}.

Passo 3

Executando a integral em x temos
\Phi(t) =-\frac{\mu_0 I\,a}{2\pi}\Bigl[\ln\bigl(c+x(t)\bigr)-\ln c\Bigr] =-\frac{\mu_0 I\,a}{2\pi}\ln\frac{c+x(t)}{c}.

Passo 4

Pela Lei de Faraday, a força eletromotriz induzida é
\varepsilon(t)=-\frac{d\Phi}{dt} =-\frac{d}{dt}\Bigl(-\frac{\mu_0 I\,a}{2\pi}\ln\frac{c+x(t)}{c}\Bigr) =\frac{\mu_0 I\,a}{2\pi}\,\frac{1}{c+x(t)}\,\frac{dx}{dt}.
Como \dot x(t)=\frac{b}{\tau}e^{-t/\tau}, segue
\varepsilon(t) =\frac{\mu_0 I\,a}{2\pi}\,\frac{1}{c+b\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)}\, \frac{b}{\tau}e^{-t/\tau} =\frac{\mu_0 I\,a\,b}{2\pi\,\tau}\, \frac{e^{-t/\tau}}{c+b\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)}.

Passo 5

A corrente induzida na espira, de resistência R, é
i(t)=\frac{\varepsilon(t)}{R} =\frac{\mu_0 I\,a\,b}{2\pi\,\tau\,R}\, \frac{e^{-t/\tau}}{c+b\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)}.

Passo 6

Para determinar o sentido, note que à medida que x(t) cresce, o fluxo de \vec B “para dentro” (no -\hat z) aumenta. Pela Lei de Lenz, o campo induzido deve sair do plano da espira ( +\hat z), e isso corresponde a uma corrente que seja anti-horária quando vista do lado positivo do eixo z. Em particular, no ramo da espira mais próximo ao fio (lado x=c) o sentido da corrente induzida é para -\hat y, ou seja, oposto ao sentido da corrente no fio.

Resposta

\varepsilon(t) =\frac{\mu_0 I\,a\,b}{2\pi\,\tau}\, \frac{e^{-t/\tau}}{c+b\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)}, \quad i(t) =\frac{\mu_0 I\,a\,b}{2\pi\,\tau\,R}\, \frac{e^{-t/\tau}}{c+b\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)}.
A corrente induzida circula de modo anti-horário visto do lado positivo de z, e no ramo mais próximo ao fio ela flui no sentido -\hat y.

Exercícios relacionados