Considere um fio infinito e uma espira retangular, de lados com tamanhos a e b, posicionados a uma distância c um do outro. Considere que há uma corrente \vec{I}=I \hat{y} no fio infinito. A espira é composta por um material elástico que permite sua deformação em qualquer direção.
Determine a força eletromotriz gerada na espira, considerando que a corrente I varia no tempo segundo a equação I(t)=I \operatorname{sech}\left(\frac{t}{\tau}\right). Qual a corrente induzida na espira pelo fio, se sua resistência é R ? Qual é a direção da corrente?

Passo 1

O enunciado descreve um fio retilíneo infinito, percorrido por uma corrente \vec I(t)=I\,\sech\bigl(\tfrac t\tau\bigr)\,\hat y,
e uma espira retangular de lados a (paralelo ao fio) e b (na direção radial), situada no plano z=0 com o lado mais próximo do fio à distância c. Queremos (1) a fem induzida na espira, (2) a corrente induzida quando a resistência da espira é R e (3) a direção dessa corrente. Vamos usar a lei de Faraday–Lenz e a expressão do campo magnético de um fio longo.

Passo 2

O campo magnético do fio, em módulo, a uma distância radial r do eixo do fio, é
B(r,t)=\frac{\mu_{0}\,I(t)}{2\pi\,r}\,,
e sua direção é \hat\varphi. No plano z=0 e para x>0 a componente de B perpendicular à espira (normal \hat z) vale
B_{z}(x,t)=+\frac{\mu_{0}\,I(t)}{2\pi\,x}\,.

Passo 3

A fluxancia magnética através da espira é
\Phi(t)=\iint B_{z}(x,t)\,dA =\int_{y=0}^{a}\!\!\int_{x=c}^{c+b}\frac{\mu_{0}\,I(t)}{2\pi\,x}\,dx\,dy =a\,\frac{\mu_{0}}{2\pi}\,I(t)\,\int_{c}^{c+b}\frac{dx}{x} =a\,\frac{\mu_{0}}{2\pi}\,I(t)\,\ln\!\bigl(\tfrac{c+b}{c}\bigr).

Passo 4

Pela lei de Faraday a fem induzida é
\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi}{dt} =-a\,\frac{\mu_{0}}{2\pi}\,\ln\!\bigl(\tfrac{c+b}{c}\bigr)\,\frac{dI(t)}{dt}.
Como I(t)=I\,\sech\bigl(\tfrac t\tau\bigr) ,
\frac{dI}{dt} =-\frac{I}{\tau}\,\sech\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr)\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr)
então
\mathcal{E}(t) =a\,\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,\tau}\, \ln\!\bigl(\tfrac{c+b}{c}\bigr)\, \sech\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr)\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr).

Passo 5

A corrente induzida na espira de resistência R é
i_{\mathrm{ind}}(t)=\frac{\mathcal{E}(t)}{R} =\frac{a\,\mu_{0}\,I}{2\pi\,\tau\,R}\, \ln\!\bigl(\tfrac{c+b}{c}\bigr)\, \sech\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr)\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr).
Como I(t) decresce dI/dt<0, a corrente induzida age de modo a reforçar o fluxo que está diminuindo. Vendo a espira de cima (direção +\hat z), ela circula no sentido anti-horário (isto é, sobe pelo lado mais próximo do fio, atravessa a parte externa no sentido radial e desce no lado externo).

Resposta

A fem induzida é
\mathcal{E}(t) =-a\,\frac{\mu_{0}}{2\pi}\,\ln\!\bigl(\tfrac{c+b}{c}\bigr)\,\frac{d}{dt}\Bigl[I\,\sech\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr)\Bigr] =a\,\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,\tau}\, \ln\!\bigl(\tfrac{c+b}{c}\bigr)\, \sech\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr)\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr).
A corrente induzida vale
i_{\mathrm{ind}}(t) =\frac{\mathcal{E}(t)}{R} =\frac{a\,\mu_{0}\,I}{2\pi\,\tau\,R}\, \ln\!\bigl(\tfrac{c+b}{c}\bigr)\, \sech\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr)\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr),
e circula anti-horário vista de cima (sentido que faz a corrente subir pelo lado mais próximo do fio).

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