Considere um fio infinito e uma espira retangular, de lados com tamanhos a e b, posicionados a uma distância c um do outro. Considere que há uma corrente \vec{I}=I \hat{y} no fio infinito. A espira é composta por um material elástico que permite sua deformação em qualquer direção.
Determine a força eletromotriz gerada na espira, considerando que seu tamanho paralelo à direção da corrente do fio é modificado no tempo segundo a equação y(t)=\frac{a \tau^{2}}{\tau^{2}+t^{2}}, onde y(t) representa a largura da espira. Qual a corrente induzida na espira pelo fio, se sua resistência é R ? Qual é a direção da corrente?

Passo 1

Temos um fio infinito alinhado ao eixo y que transporta corrente \vec I=I\,\hat y e uma espira retangular no plano z=0, de lados y(t) (variável, paralelo a y) e b (fixo, paralelo a x), cuja aresta mais próxima ao fio fica a x=c. Para achar a fem induzida vamos usar:
– o campo magnético de um fio infinito (Lei de Biot–Savart);
– definição de fluxo magnético \Phi=\iint\vec B\cdot d\vec A;
– Lei de Faraday–Lenz \varepsilon=-d\Phi/dt.

Passo 2

O módulo do campo magnético a uma distância x do fio é
B(x)=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,x},
e sua direção, por regra da mão direita, é perpendicular ao plano da espira. No plano z=0, para x>0, o campo aponta para dentro da página (– \hat z), de modo que o componente relevante é
B_{z}(x)=-\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,x}\,.

Passo 3

A área da espira em cada instante é A(t)=y(t)\,b e o fluxo magnético é
\Phi(t)=\int_{x=c}^{c+b}\!\int_{y=0}^{y(t)}B_{z}(x)\,dy\,dx =y(t)\,\int_{c}^{c+b}\!-\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,x}\,dx =-\frac{\mu_{0}\,I\,y(t)}{2\pi}\ln\!\biggl(\frac{c+b}{c}\biggr).

Passo 4

Pela Lei de Faraday
\varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt} =-\biggl(-\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi}\ln\frac{c+b}{c}\biggr)\frac{dy}{dt} =\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi}\ln\!\biggl(\frac{c+b}{c}\biggr)\,\dot y(t).
Como
y(t)=\frac{a\,\tau^{2}}{\tau^{2}+t^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \dot y(t) =-\frac{2a\,\tau^{2}\,t}{(\tau^{2}+t^{2})^{2}},
fica
\varepsilon(t) =\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi}\ln\!\biggl(\frac{c+b}{c}\biggr)\, \Bigl(-\frac{2a\,\tau^{2}\,t}{(\tau^{2}+t^{2})^{2}}\Bigr).

Passo 5

Se a resistência da espira é R, a corrente induzida vale
i(t)=\frac{\varepsilon(t)}{R} =-\frac{\mu_{0}\,I}{\pi\,R}\ln\!\biggl(\frac{c+b}{c}\biggr)\, \frac{a\,\tau^{2}\,t}{(\tau^{2}+t^{2})^{2}}.
O sinal “–” diz que o sentido real da corrente é oposto ao sentido escolhido positivamente. Pelo teorema de Lenz, como y(t) decresce para t>0 reduzindo o fluxo, o sentido induzido é tal que gera campo também para dentro da página, ou seja, corrente horária vista do lado positivo de z (sentido “clockwise”).

Resposta

\boxed{ \varepsilon(t) =-\frac{\mu_{0}\,I}{\pi}\ln\!\biggl(\frac{c+b}{c}\biggr)\, \frac{a\,\tau^{2}\,t}{(\tau^{2}+t^{2})^{2}}, \quad i(t) =-\frac{\mu_{0}\,I}{\pi\,R}\ln\!\biggl(\frac{c+b}{c}\biggr)\, \frac{a\,\tau^{2}\,t}{(\tau^{2}+t^{2})^{2}}, }
com o sentido da corrente induzida horário (vistos de +z).

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