Dois capacitores de placas paralelas, de capacitâncias C_{1}=15 \mu \mathrm{Fe} C_{2}=10 \mu \mathrm{~F}, estão inicialmente descarregados. Um dielétrico de constante dielétrica \kappa=4 é inserido no segundo capacitor, de forma a preencher totalmente o espaço entre as placas. Após a inserção do dielétrico, eles são então conectados em paralelo a uma fonte ideal de fem \varepsilon=12 \mathrm{~V} e carregados por um longo tempo. Por fim, a fonte é retirada, deixando apenas os capacitores em paralelo, sendo o segundo ainda com o dielétrico dentro.
a) Calcule, para os dois capacitores, a diferença de potencial e a carga após a retirada da fonte.
b) Qual a energia total armazenada no sistema após a retirada da fonte?
c) Com os capacitores em paralelo, e sem a fonte, o dielétrico agora é removido. Calcule, para os dois capacitores, a diferença de potencial entre as placas e a carga após a retirada do dielétrico.
d) Qual a energia total armazenada no sistema após a retirada do dielétrico? A energia aumentou ou diminuiu com a retirada do dielétrico?

Passo 1

Temos dois capacitores de placas paralelas, C_{1}=15\,\mu\mathrm{F} e C_{2}=10\,\mu\mathrm{F}, inicialmente descarregados. Insere-se um dielétrico de constante \kappa=4 no segundo capacitor, elevando sua capacitância para C_{2}'=\kappa C_{2}=40\,\mu\mathrm{F}. Em seguida, ligam-se ambos em paralelo a uma fonte ideal de fem \varepsilon=12\,\mathrm{V}, carregam-se permanentemente e depois retiram-se os fios da fonte, mantendo os capacitores em paralelo. O conteúdo que vamos usar é: em paralelo mantém-se a mesma diferença de potencial; Q=C\,V; energia em cada capacitor \tfrac12CV^2; ao retirar o dielétrico, a carga total do sistema isolado se conserva e a capacitância do segundo volta a C_{2}=10\,\mu\mathrm{F}.

Passo 2

Após o carregamento e retirada da fonte, por estarem em paralelo ambos ficam com a mesma diferença de potencial \Delta V_{1}=\Delta V_{2}=12\,\mathrm{V}.
As cargas são \;Q_{1}=C_{1}\,\Delta V_{1}=15\times10^{-6}\cdot12=180\times10^{-6}\,\mathrm{C}=180\,\mu\mathrm{C}, \;Q_{2}=C_{2}'\,\Delta V_{2}=40\times10^{-6}\cdot12=480\,\mu\mathrm{C}.

Passo 3

A energia total armazenada é a soma das energias de cada capacitor:
U_{\text{total}} =\frac12\,C_{1}\,V^2+\frac12\,C_{2}'\,V^2 =\frac12\cdot15\times10^{-6}\cdot12^2+\frac12\cdot40\times10^{-6}\cdot12^2 =3{,}96\times10^{-3}\,\mathrm{J}.

Passo 4

Retirando o dielétrico, o segundo capacitor volta a C_{2}=10\,\mu\mathrm{F}. Como o sistema está isolado e em paralelo, a carga total se conserva: \;Q_{\text{total}}=Q_{1}+Q_{2}=180+480=660\,\mu\mathrm{C}. A capacitância equivalente passa a \;C_{\text{eq}}=C_{1}+C_{2}=15+10=25\,\mu\mathrm{F}. Logo a nova diferença de potencial comum é \;V'=\frac{Q_{\text{total}}}{C_{\text{eq}}} =\frac{660\times10^{-6}}{25\times10^{-6}}=26{,}4\,\mathrm{V}. As cargas finais em cada capacitor são \;Q_{1}'=C_{1}\,V'=15\times10^{-6}\cdot26{,}4=396\,\mu\mathrm{C}, \;Q_{2}'=C_{2}\,V'=10\times10^{-6}\cdot26{,}4=264\,\mu\mathrm{C}.

Passo 5

A energia após retirada do dielétrico é
U'_{\text{total}} =\frac12\,C_{1}\,{V'}^{2}+\frac12\,C_{2}\,{V'}^{2} =\frac12\cdot15\times10^{-6}\cdot26{,}4^2 +\frac12\cdot10\times10^{-6}\cdot26{,}4^2 =8{,}71\times10^{-3}\,\mathrm{J}.
Comparando com 3{,}96\times10^{-3}\,\mathrm{J}, a energia aumentou, pois foi realizado trabalho mecânico para remover o dielétrico.

Resposta

a) \Delta V_{1}=\Delta V_{2}=12\,\mathrm{V}, Q_{1}=180\,\mu\mathrm{C}, Q_{2}=480\,\mu\mathrm{C}.
b) U_{\text{total}}=3{,}96\times10^{-3}\,\mathrm{J}.
c) \Delta V'=26{,}4\,\mathrm{V}, Q_{1}'=396\,\mu\mathrm{C}, Q_{2}'=264\,\mu\mathrm{C}.
d) U'_{\text{total}}=8{,}71\times10^{-3}\,\mathrm{J}. A energia aumentou com a retirada do dielétrico.

Exercícios relacionados