Considere um fio infinito e retilíneo de raio R. Determine o campo magnético induzido dentro e fora do fio quando a densidade de corrente é dada por J=ar^3, onde a é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fio infinito e reto com raio $ R $ e nos pede para encontrar o campo magnético tanto dentro quanto fora desse fio. A densidade de corrente é dada por $ J = a r^3 $, onde $ a $ é uma constante. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por uma área fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Ela diz que a integral do campo magnético $ \mathbf{B} $ ao longo de um caminho fechado é igual ao produto da permeabilidade magnética $ \mu_0 $ pela corrente total $ I_{enc} $ que atravessa essa área:
B
Como o fio é infinítuo e reto, o campo magnético vai circular ao redor do fio formando círculos concêntricos. A simetria nos ajuda a simplificar essa integral.

Passo 3

Vamos calcular a corrente total $ I_{enc} $ que passa através de um círculo de raio $ r $, onde $ r $ pode ser menor ou maior que $ R $.
Para $ r \leq R $ (dentro do fio):
Ienc
Para $ r > R $ (fora do fio):
A corrente total dentro do fio é constante e dada por:
r

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético.
Para $ r \leq R $:
A integral da Lei de Ampère fica:
r <= R
Resolvendo para $ B $:
B cdot 2pi r = mu0 cdot 2pi a5 r^5

Passo 5

Para $ r > R $:
A corrente total é $ \frac{2\pi a}{5} R^5 $. Aplicando a Lei de Ampère:
r > R
Resolvendo para $ B $:
2pi a5 R^5

Resposta

O campo magnético induzido no fio é dado por:
  • Dentro do fio ($ r \leq R $):
r <= R
  • Fora do fio ($ r > R $):
B = mu0 a5 r^4

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