Considere um fio infinito e retilíneo de raio
. Determine o campo magnético induzido dentro e fora do fio quando a densidade de corrente é dada por
, onde
é uma constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fio infinito e reto com raio $ R $ e nos pede para encontrar o campo magnético tanto dentro quanto fora desse fio. A densidade de corrente é dada por $ J = a r^3 $, onde $ a $ é uma constante. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por uma área fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Ela diz que a integral do campo magnético $ \mathbf{B} $ ao longo de um caminho fechado é igual ao produto da permeabilidade magnética $ \mu_0 $ pela corrente total $ I_{enc} $ que atravessa essa área:
Como o fio é infinítuo e reto, o campo magnético vai circular ao redor do fio formando círculos concêntricos. A simetria nos ajuda a simplificar essa integral.
Passo 3
Vamos calcular a corrente total $ I_{enc} $ que passa através de um círculo de raio $ r $, onde $ r $ pode ser menor ou maior que $ R $.
Para $ r \leq R $ (dentro do fio):
Para $ r > R $ (fora do fio):
A corrente total dentro do fio é constante e dada por:
A corrente total dentro do fio é constante e dada por:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético.
Para $ r \leq R $:
A integral da Lei de Ampère fica:
A integral da Lei de Ampère fica:
Resolvendo para $ B $:
Passo 5
Para $ r > R $:
A corrente total é $ \frac{2\pi a}{5} R^5 $. Aplicando a Lei de Ampère:
A corrente total é $ \frac{2\pi a}{5} R^5 $. Aplicando a Lei de Ampère:
Resolvendo para $ B $:
Resposta
O campo magnético induzido no fio é dado por:
- Dentro do fio ($ r \leq R $):
- Fora do fio ($ r > R $):