Considere um fio (não-condutor) muito fino de comprimento 2 L. Sabendo-se que o fio possui densidade linear de carga constante \lambda>0, calcule o campo elétrico sob a reta perpendicular que passa pela metade do fio a uma altura h do mesmo. Explique.
Passo 1
O enunciado dá um fio muito fino, não condutor, de comprimento 2L com densidade linear de carga constante \lambda>0. Pede-se o campo elétrico no ponto que está sobre a reta perpendicular ao fio que passa pelo ponto médio do fio, a uma altura h acima do fio. Informações relevantes:
\n
Comprimento do fio: de -L a +L ao longo da reta (ou seja, comprimento total 2L).\n
Densidade linear de carga: \lambda (constante), então uma pequena porção de comprimento dx tem carga dq=\lambda\,dx.\n
Ponto onde queremos o campo: situado na perpendicular ao fio que passa pelo meio, a uma distância h (vou chamar esse ponto de P).\n
Queremos a expressão do campo elétrico \mathbf{E} em P, tanto magnitude quanto direção.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas simples para montar a integral: colocamos o fio sobre o eixo x, centrado na origem, ocupando o intervalo -L\le x\le L. O ponto P está em (0,h) (ou seja, na linha x=0 a distância h acima do eixo).\n
Agora vamos considerar um elemento de carga infinitesimal dq localizado em x. Esse elemento vale
dq=\lambda\,dx.
Pela lei de Coulomb, o campo produzido por um carga pontual dq no ponto P é
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, r é a distância entre dq e P e \hat{\mathbf{r}} é o versor que sai de dq em direção a P. Vou usar essa fórmula para somar (integrar) as contribuições de todos os dq ao longo do fio.
Passo 3
Escrevemos o vetor posição relativo e sua magnitude: para o elemento em x, o vetor que vai de dq até P é -x\,\hat{\mathbf{x}}+h\,\hat{\mathbf{y}}. A distância é
Pelo centro simétrico do fio: o elemento em x e o elemento em -x têm componentes x-opostas que se cancelam. Portanto a componente horizontal total é zero:
E_x=\int_{-L}^{L} dE_x=0.
A única componente não nula é a vertical E_y, obtida integrando dE_y de -L a L.
Passo 5
Escrevemos a integral para E_y, tirando constantes fora:
Para achar uma primitiva de I podemos tentar observar que a derivada de
f(x)=\frac{x}{h^2\sqrt{x^2+h^2}}
é exatamente a função integranda. Vamos calcular f'(x) devagarinho (mostrando a conta para você conseguir reproduzir na prova): escrevemos f(x)=\frac{1}{h^2}\,x\,(x^2+h^2)^{-1/2}. Então
que é o resultado conhecido para um fio infinito — bom sinal. Para L\ll h obtemos E\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2\lambda L}{h^2}, comportamento de campo fraco e decaindo com h^2, também coerente com uma carga pontual efetiva pequena.