Considere um fio em repouso no sistema S que passa pela origem do sistema, se estende na direção x e tem densidade de carga lambda. Considere também uma carga q a uma certa distância deste fio, em repouso em S, mas que se move com velocidade v na direção x quando vista um sistema S^prime.
(a) Calcule a força na carga no sistema S e usando a lei de transformação de forças o valor desta no sistema S^prime.
(b) Calcule os campos no sistema S e, usando a lei de transformação dos campos, o valor destes no sistema S^prime.
(c) Compare os resultados acima.

Passo 1

O enunciado fala de eletrodinâmica relativística: temos em S um fio infinito, retilíneo, parado e com densidade linear de carga lambda, estendido na direção x. Uma carga de prova q está a uma distância r do fio, em repouso em S. Num referencial S' que se move com velocidade v ao longo de x (ou seja, vê q movendo-se com velocidade -v em x), queremos:
(a) a força em S e depois em S' via transformação de forças;
(b) os campos E,B em S e em S' via transformação de campos;
(c) comparar os resultados.

Passo 2

Em S só existe campo elétrico radial devido ao fio. Pela lei de Gauss para linha infinita,
E(r)=lambda2pivarepsilon0,r
e B=0. A força sobre q em S é
F=q,E =q,lambda2pivarepsilon0,r,er,
sempre perpendicular ao fio (e sem componente em x).

Passo 3

Para transformar a força para S' usamos que, em S, a velocidade da carga é u=(0,0,0). Num boost de velocidade v em x, a regra é
F'paral<=l=Fparal<=l, F'perp=Fperpgamma,
com gamma=1/raiz1-v^2/c^2. Aqui toda F é perpendicular a x, logo
F'=1gamma,F =q,lambda2pivarepsilon0,r,gamma,er

Passo 4

Em S:
E=lambda2pivarepsilon0,r,er, B=0
Em S', para um boost em x, valem as fórmulas
E'x=Ex, E'y=gammal(Ey-vBzr), E'z=gammal(Ez+vByr),
B'x=Bx, B'y=gammal(By+vc^2Ezr), B'z=gammal(Bz-vc^2Eyr)
Como B=0 e o campo em S é todo em y (supondo r ao longo de y), obtemos
E'y=gamma,E(r) =gamma,lambda2pivarepsilon0,r, B'z=-gamma,vc^2,E(r) =-gamma,v,lambda2pivarepsilon0,c^2r =-mu0,gamma,v,lambda2pi,r
As demais componentes anulam.

Passo 5

Em S', a carga tem u'=(-v,0,0). A força de Lorentz é
F'=ql(E'+u'timesB'r)
Temos E'=gamma E,er e B'=B'z,ez, de modo que
u'timesB' =(-v,ex)timesl(B'z,ezr) =-v,B'z,(extimesez) =-v,B'z,(-ey) =-v,B'z,er
Substituindo B'z=-gamma(v/c^2)E e somando ao termo elétrico:
F'r =ql(gamma E+(-v)(-gammavc^2E)r) =q,gamma El(1-v^2c^2r) =qEgamma =q,lambda2pivarepsilon0,r,gamma,
que coincide com o resultado do passo 3.

Resposta

Em S:
F =q,lambda2pivarepsilon0,r,er, E =lambda2pivarepsilon0,r,er, B=0
Em S':
F' =q,lambda2pivarepsilon0,r,gamma,er, E' =gamma,lambda2pivarepsilon0,r,er, B' =-mu0,gamma,v,lambda2pi,r,ez
Comparação: o valor de F' obtido por transformação de forças coincide com o obtido via novos campos E',B' e força de Lorentz.

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