Considere um fio em repouso no sistema
que passa pela origem do sistema, se estende na direção
e tem densidade de carga
. Considere também uma carga
a uma certa distância deste fio, em repouso em
, mas que se move com velocidade
na direção
quando vista um sistema
.
(a) Calcule a força na carga no sistema
e usando a lei de transformação de forças o valor desta no sistema
.
(b) Calcule os campos no sistema
e, usando a lei de transformação dos campos, o valor destes no sistema
.
(c) Compare os resultados acima.
(a) Calcule a força na carga no sistema
(b) Calcule os campos no sistema
(c) Compare os resultados acima.
Passo 1
O enunciado fala de eletrodinâmica relativística: temos em
um fio infinito, retilíneo, parado e com densidade linear de carga
, estendido na direção
. Uma carga de prova
está a uma distância
do fio, em repouso em
. Num referencial
que se move com velocidade
ao longo de
(ou seja, vê
movendo-se com velocidade
em
), queremos:
(a) a força em e depois em
via transformação de forças;
(b) os campos em
e em
via transformação de campos;
(c) comparar os resultados.
(a) a força em
(b) os campos
(c) comparar os resultados.
Passo 2
Em
só existe campo elétrico radial devido ao fio. Pela lei de Gauss para linha infinita,
e
. A força sobre
em
é
sempre perpendicular ao fio (e sem componente em
).
Passo 3
Para transformar a força para
usamos que, em
, a velocidade da carga é
. Num boost de velocidade
em
, a regra é
com
. Aqui toda
é perpendicular a
, logo
Passo 4
Em
:
Em
, para um boost em
, valem as fórmulas
Como
e o campo em
é todo em
(supondo
ao longo de
), obtemos
As demais componentes anulam.
Passo 5
Em
, a carga tem
. A força de Lorentz é
Temos
e
, de modo que
Substituindo
e somando ao termo elétrico:
que coincide com o resultado do passo 3.
Resposta
Em
:
Em
:
Comparação: o valor de
obtido por transformação de forças coincide com o obtido via novos campos
e força de Lorentz.