Determine o campo magnético gerado por uma carga pontual em movimento uniforme.

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético gerado por uma carga pontual q em movimento uniforme (velocidade constante v). O conteúdo principal que vamos usar é o das potenciais retardadas de Liénard–Wiechert e a relação entre campo elétrico e campo magnético para cargas em movimento:
B( r,t) =1c^2, vtimes E( r,t)
Precisamos então (1) lembrar as expressões de E para movimento uniforme e (2) aplicar a relação acima.

Passo 2

Para uma carga em movimento com velocidade constante, define-se
boldsymbolbeta= v/c,
gamma=1/raiz1-beta^2,
e a posição da carga no instante retardado tr satisfaz
tr = t - Rc, R= r - rq(tr), R=lvert Rrvert
Nessa situação de velocidade uniforme, a expressão do campo elétrico é (sem termos de aceleração):
E( r,t) =q4pivarepsilon0, 1-beta^2l(1-beta^2sin^2thetar)^3/2 , RR^3,
onde theta é o ângulo entre v e R.

Passo 3

Usando a relação relativística entre E e B para carga em movimento uniforme, temos
B( r,t) =1c^2, vtimes E( r,t)
Substituindo a expressão de E do passo anterior, obtemos imediatamente B.

Passo 4

Fazendo a substituição direta,
B( r,t) =1c^2, vtimes gl[ q4pivarepsilon0, 1-beta^2l(1-beta^2sin^2thetar)^3/2 , RR^3 gr]
Como mu0varepsilon0=1/c^2, isto fica
B( r,t) =mu0,q4pi, 1-beta^2l(1-beta^2sin^2thetar)^3/2 , vtimes RR^3

Passo 5

Portanto, o campo magnético gerado por uma carga pontual q em movimento retilíneo uniforme v é
B( r,t) =mu0,q4pi, 1-beta^2l(1-beta^2sin^2thetar)^3/2 , vtimes RR^3,
onde
boldsymbolbeta= v/c,
theta é o ângulo entre v e R= r- rq(tr),
e R=lvert Rrvert.

Resposta

boxed B( r,t) =mu0,q4pi, 1-beta^2l(1-beta^2sin^2thetar)^3/2 , vtimes RR^3

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