Considere um fio retilíneo e extremamente longo (fio infinito, como se costuma dizer) uniformemente carregado com densidade linear de carga lambda e um ponto P a uma distância s do fio. Escolha os eixo cartesianos de modo que o fio esteja ao longo do eixo O Z.
(a) Qual(is) componente(s) Es, Evarphi e/ou Ez do campo elétrico gerado pelo são nulas em todo e qualquer ponto do espaço? Explique.
(b) As componentes não-nulas do campo elétrico gerado pelo fio pode(m) depender de quais coordenadas (s, varphi ou z) ?
(c) Utilizando os resultados dos itens anteriores, escolha uma superfície gaussiana adequada para a obtenção do campo elétrico produzido pelo fio via lei de Gauss. Justifique sua escolha.
(d) Aplique apropriadamente a lei de Gauss para obter o campo eletrostático criado pelo fio em P.

Passo 1

O problema descreve um fio retilíneo infinito, com densidade linear de carga lambda, colocado ao longo do eixo OZ, e pede para encontrar o campo elétrico num ponto P a uma distância s do fio. O conteúdo usado será simetria do problema e aplicação da lei de Gauss para campo elétrico.

Passo 2

Pelo princípio de simetria rotacional em torno do eixo z, girar o sistema em varphi não altera nada, então não pode haver componente azimutal do campo. Da mesma forma, pela simetria de translação ao longo de z, deslocar o ponto P em z não muda a configuração, logo não há componente Ez. Sobram apenas a componente radial Es, que é a única possivelmente não nula.
Devido às mesmas simetrias (rotacional e translacional), a componente Es não pode depender de varphi nem de z. Portanto
Es=Es(s),
ou seja, depende exclusivamente da distância radial s ao fio.

Passo 3

A escolha mais adequada de superfície gaussiana é um cilindro coaxial com o fio, de raio s e comprimento L. Nesse cilindro, o campo é perpendicular apenas à superfície lateral, constante em módulo igual a Es(s), e a contribuição de fluxo nas tampas é zero, pois ali E é paralelo à geratriz.

Passo 4

Aplicando a lei de Gauss:
Phi = oint Ecdot dA = Es(s);(2pi sL)
A carga total envolvida é
Qint=lambda,L
Pela lei de Gauss temos
Phi = Qintvarepsilon0 ;Longrightarrow; Es(s),(2pi sL)=lambda,Lvarepsilon0 ;Longrightarrow; Es(s)=lambda2pivarepsilon0,s

Resposta

(a) Evarphi=0 e Ez=0.
(b) A única componente não nula Es depende apenas de s.
(c) Cilindro coaxial de raio s e comprimento L, pois respeita a simetria e torna o campo constante na superfície lateral.
(d)
E(P) =lambda2pivarepsilon0,s,s

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