Considere um fio um fio retilíneo de raio desprezível carregado positivamente, com densidade linear de carga \lambda constante. Determine o módulo do campo elétrico à uma distância r do fio.

Passo 1

O enunciado pede o módulo do campo elétrico gerado por um fio retilíneo infinito de raio desprezível e densidade linear de carga constante \lambda, a uma distância radial r do fio. O conteúdo principal aqui é a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo do campo elétrico a carga envolvida por uma superfície fechada.

Passo 2

Pela simetria cilíndrica do problema, o campo elétrico \mathbf{E} deve apontar radialmente para fora do fio e ter módulo constante em todos os pontos a uma mesma distância r. Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro de raio r e comprimento L, coaxial ao fio.
- Nas bases do cilindro o vetor \mathbf{E} é tangente à superfície, logo não contribui para o fluxo.
- Na superfície lateral, \mathbf{E} é perpendicular à área e de módulo constante.

Passo 3

O fluxo total de \mathbf{E} pela superfície gaussiana é
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\;\times\;(\text{área lateral}) = E(r)\; (2\pi r L).á
A carga envolvida por essa superfície é
Q_{\rm enc} = \lambda\,L.
Pela Lei de Gauss:
\Phi = \frac{Q_{\rm enc}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r)\,2\pi r L \;=\;\frac{\lambda\,L}{\varepsilon_{0}}.

Passo 4

Isolando E(r), cancelando L de ambos os lados, obtemos
E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}.

Resposta

E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r},
com direção radial para fora do fio.

Exercícios relacionados