(a) O vetor
é um vetor unitário? Justifique a sua resposta. (b) Um vetor unitário pode ter algum componente com módulo maior que a unidade? Pode ter algum componente negativo? Em cada caso, justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta sobre vetores unitários, ou seja, vetores cuja norma vale
. Na parte (a) precisamos verificar se o vetor
tem norma unitária. Na parte (b) devemos usar a relação entre norma e componentes para ver se um vetor de norma
pode ter componente com módulo maior que
e se pode ter componente negativa.
Passo 2
Para saber se
é unitário, calculamos sua norma usando
pois as componentes de
na base canônica são todas iguais a
.
Passo 3
Do cálculo acima segue
logo
não é um vetor unitário.
Passo 4
Seja
um vetor unitário, ou seja,
. Então
Cada termo
é não negativo e entra na soma que vale
. Daí segue que
Portanto um vetor unitário não pode ter componente com módulo maior que
.
Passo 5
Quanto ao sinal das componentes, não há restrição de serem todas positivas. O que importa é que a soma dos quadrados delas seja
. Logo é perfeitamente possível que uma ou mais componentes de
sejam negativas — contanto que os quadrados somem
.
Resposta
(a) Não é um vetor unitário, pois
.
(b) Um vetor unitário não pode ter componente com módulo maior que (pois cada
), mas pode ter componente negativa (o sinal não afeta a soma dos quadrados).
(b) Um vetor unitário não pode ter componente com módulo maior que