(a) O vetor (\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}) é um vetor unitário? Justifique a sua resposta. (b) Um vetor unitário pode ter algum componente com módulo maior que a unidade? Pode ter algum componente negativo? Em cada caso, justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre vetores unitários, ou seja, vetores cuja norma vale 1. Na parte (a) precisamos verificar se o vetor \mathbf{v}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k} tem norma unitária. Na parte (b) devemos usar a relação entre norma e componentes para ver se um vetor de norma 1 pode ter componente com módulo maior que 1 e se pode ter componente negativa.

Passo 2

Para saber se \mathbf{v}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k} é unitário, calculamos sua norma usando
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(\,1\,)^2 + (\,1\,)^2 + (\,1\,)^2}
pois as componentes de \mathbf{v} na base canônica são todas iguais a 1.

Passo 3

Do cálculo acima segue
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}\neq 1,
logo \mathbf{v} não é um vetor unitário.

Passo 4

Seja \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) um vetor unitário, ou seja, \|\mathbf{u}\|=1. Então
u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 = 1.
Cada termo u_i^2 é não negativo e entra na soma que vale 1. Daí segue que
u_i^2 \le 1 \quad\Longrightarrow\quad |u_i|\le 1.
Portanto um vetor unitário não pode ter componente com módulo maior que 1.

Passo 5

Quanto ao sinal das componentes, não há restrição de serem todas positivas. O que importa é que a soma dos quadrados delas seja 1. Logo é perfeitamente possível que uma ou mais componentes de \mathbf{u} sejam negativas — contanto que os quadrados somem 1.

Resposta

(a) Não é um vetor unitário, pois \|\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}\|=\sqrt{3}\neq1.
(b) Um vetor unitário não pode ter componente com módulo maior que 1 (pois cada |u_i|\le1), mas pode ter componente negativa (o sinal não afeta a soma dos quadrados).

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