Uma placa fina muito grande está uniformemente carregada com uma carga positiva. Se a densidade de carga sobre a placa é \sigma, obtenha o módulo do campo elétrico acima dela, à uma distância r, longe da borda da mesma.

Passo 1

O enunciado descreve uma placa infinita, muito grande, carregada de forma uniforme com densidade de carga superficial \sigma. Precisamos encontrar o módulo do campo elétrico num ponto que está a uma distância r da placa, longe das bordas. O conteúdo principal que vamos usar é a Lei de Gauss para eletrostática, que relaciona o fluxo do campo elétrico com a carga envolvida:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \;=\;\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}.

Passo 2

Por simetria, o campo elétrico gerado por uma placa infinita é perpendicular à placa e tem o mesmo módulo em qualquer ponto que esteja à mesma distância r, tanto acima quanto abaixo dela. Para explorar essa simetria, escolhemos como superfície gaussiana um “pílula” cilíndrica (um cilindro de faces planas paralelas à placa) de área de base A. Metade do cilindro fica acima da placa e metade abaixo.

Passo 3

Em cada uma das duas faces planas, o vetor \mathbf{E} é perpendicular à superfície e tem módulo E. No lado curvo do cilindro \mathbf{E} é paralelo à superfície, então não contribui para o fluxo. Assim, o fluxo total é a soma das contribuições das duas bases:
\Phi = E\,A \;+\; E\,A \;=\;2\,E\,A.

Passo 4

A carga que fica dentro da pílula é apenas a que está sobre a área A da placa. Como a densidade é \sigma, temos
Q_{\text{int}} = \sigma\,A.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
\Phi = 2\,E\,A \quad=\quad \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}} \quad=\quad \frac{\sigma\,A}{\epsilon_{0}}.
Cancelando A em ambos os lados, obtemos
2\,E = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{\sigma}{2\,\epsilon_{0}}.

Resposta

E = \frac{\sigma}{2\,\epsilon_{0}}.

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