Faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+\frac{y^{2}}{4}}

Passo 1

O enunciado pede: “Faça um esboço das curvas de nível” da função f(x,y)=\sqrt{x^{2}+\frac{y^{2}}{4}}.\n
Informações dadas:
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+\frac{y^{2}}{4}}.
O que é pedido explicitamente: obter e esboçar as curvas de nível de f, ou seja, os conjuntos de pontos (x,y) para os quais f(x,y) tem um valor fixo (um nível) k.
Não há outras restrições no enunciado (domínio é todo \mathbb{R}^2).

Passo 2

Definição prática de curva de nível (aula rápida): para um número fixo k\ge 0, a curva de nível de f correspondente a k é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=k\}.
Aqui devemos tomar k\ge 0 porque f é uma raiz quadrada e produz valores não negativos. Na prova, sempre escreva essa equação e resolva para relacionar x e y.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso f: comece com
f(x,y)=k,
ou seja
\sqrt{x^{2}+\frac{y^{2}}{4}}=k.
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado (procedimento padrão): como k\ge 0,
x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=k^{2}.

Passo 4

Manipulação algébrica para reconhecer a forma geométrica: multiplique por 4 ou escreva em forma de elipse normalizada. Dividindo ambos os lados por k^{2} (para k>0) obtemos
\frac{x^{2}}{k^{2}}+\frac{y^{2}}{4k^{2}}=1.
Essa é exatamente a equação geral de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos dados por:
  • semi-eixo ao longo de x: a=k,
  • semi-eixo ao longo de y: b=2k.

Passo 5

Interpretação geométrica e parâmetros: portanto, para cada k>0 a curva de nível é uma elipse centrada em (0,0), alinhada com os eixos coordenados, mais “esticada” na direção y (porque b=2k>k=a). Para k=0 a curva de nível degenera no ponto (0,0).

Passo 6

Exemplos numéricos simples (úteis para desenhar no rascunho da prova):
  • Para k=1: equação \;x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1\;. Interseções com os eixos: x=\pm 1, y=\pm 2.
  • Para k=\tfrac{1}{2}: equação \;x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=\tfrac{1}{4}\; equival. a semi-eixos a=\tfrac{1}{2}, b=1.
  • Para k=2: equação \;x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=4\; equival. a semi-eixos a=2, b=4.
Desenhar essas elipses dá a ideia da família: elipses concêntricas semelhantes, todas com o mesmo alongamento vertical (razão b/a=2), crescendo linearmente com k.

Passo 7

Parametrização útil para esboçar (opcional, mas bom para entender): para um nível k podemos parametrizar a elipse por
x=k\cos t,\qquad y=2k\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Isso mostra claramente que quando t varia percorremos a elipse uma vez, e que o tamanho escala com k.

Passo 8

Dicas práticas de esboço (passo a passo no papel, sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque os pontos intercepto para alguns níveis, por exemplo para k=1 marque (\pm 1,0) e (0,\pm 2); para k=2 marque (\pm 2,0) e (0,\pm 4); para k=\tfrac{1}{2} marque (\pm\tfrac{1}{2},0) e (0,\pm 1).
  3. Una suavemente esses pontos com elipses centradas na origem (sem cantos), lembrando que a elipse é simétrica em relação aos dois eixos.
  4. Separe níveis com espaço uniforme porque o tamanho dos semi-eixos cresce linearmente com k.

Passo 9

Observações finais que valem na prova:
  • Não há autointerseções: curvas de nível diferentes (valores distintos de k) são elipses concêntricas e não se cruzam.
  • O gradiente \nabla f é perpendicular a essas elipses (isto é teoria extra; serve para entender orientações), mas não é necessário para apenas esboçar as curvas de nível.

Resposta

As curvas de nível de f para k\ge 0 são as elipses centradas na origem dadas por
x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=k^{2},
equivalentemente
\frac{x^{2}}{k^{2}}+\frac{y^{2}}{4k^{2}}=1,
com semi-eixos a=k (eixo x) e b=2k (eixo y).

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