Faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: “Faça um esboço das curvas de nível” da função
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
O que é pedido explicitamente: obter e esboçar as curvas de nível de
, ou seja, os conjuntos de pontos
para os quais
tem um valor fixo (um nível)
.
Não há outras restrições no enunciado (domínio é todo ).
Não há outras restrições no enunciado (domínio é todo
Passo 2
Definição prática de curva de nível (aula rápida): para um número fixo
, a curva de nível de
correspondente a
é o conjunto
Aqui devemos tomar
porque
é uma raiz quadrada e produz valores não negativos. Na prova, sempre escreva essa equação e resolva para relacionar
e
.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso
: comece com
ou seja
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado (procedimento padrão): como
,
Passo 4
Manipulação algébrica para reconhecer a forma geométrica: multiplique por
ou escreva em forma de elipse normalizada. Dividindo ambos os lados por
(para
) obtemos
Essa é exatamente a equação geral de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos dados por:
- semi-eixo ao longo de
: , - semi-eixo ao longo de
: .
Passo 5
Interpretação geométrica e parâmetros: portanto, para cada
a curva de nível é uma elipse centrada em
, alinhada com os eixos coordenados, mais “esticada” na direção
(porque
). Para
a curva de nível degenera no ponto
.
Passo 6
Exemplos numéricos simples (úteis para desenhar no rascunho da prova):
- Para
: equação . Interseções com os eixos: , . - Para
: equação equival. a semi-eixos , . - Para
: equação equival. a semi-eixos , .
Desenhar essas elipses dá a ideia da família: elipses concêntricas semelhantes, todas com o mesmo alongamento vertical (razão
), crescendo linearmente com
.
Passo 7
Parametrização útil para esboçar (opcional, mas bom para entender): para um nível
podemos parametrizar a elipse por
Isso mostra claramente que quando
varia percorremos a elipse uma vez, e que o tamanho escala com
.
Passo 8
Dicas práticas de esboço (passo a passo no papel, sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos intercepto para alguns níveis, por exemplo para
marque e ; para marque e ; para marque e . - Una suavemente esses pontos com elipses centradas na origem (sem cantos), lembrando que a elipse é simétrica em relação aos dois eixos.
- Separe níveis com espaço uniforme porque o tamanho dos semi-eixos cresce linearmente com
.
Passo 9
Observações finais que valem na prova:
- Não há autointerseções: curvas de nível diferentes (valores distintos de
) são elipses concêntricas e não se cruzam. - O gradiente
é perpendicular a essas elipses (isto é teoria extra; serve para entender orientações), mas não é necessário para apenas esboçar as curvas de nível.
Resposta
As curvas de nível de
para
são as elipses centradas na origem dadas por
equivalentemente
com semi-eixos
(eixo
) e
(eixo
).