Considere um fio reto de seção reta circular com raio de 10 mm feito de um material condutor ruim. Por este fio passa uma corrente elétrica de 6,2 \times 10 \mathrm{~A} que se distribui uniformemente pela seção reta do fio. Calcule a magnitude do campo magnético num círculo de raio de 8,7 \mathrm{~mm}, centrado no eixo do fio. Considere que a constante de permeabilidade do material é igual a do vácuo. Se necessário, use a letra u para expressar o prefixo de unidade micro, \mu.

Passo 1

O enunciado pede a magnitude do campo magnético em um ponto que está sobre um círculo de raio \,8,7\\ \mathrm{mm}\, centrado no eixo de um fio cilíndrico. Informações fornecidas e pedidos claros:
  • Raio do fio: \;R=10\\ \mathrm{mm}.
  • Raio do ponto onde queremos B: \;r=8,7\\ \mathrm{mm}.
  • Corrente total que atravessa o fio: \;I=6,2\times 10\\ \mathrm{A}. (Vou usar a expressão numérica equivalente \;I=62\\ \mathrm{A}.)
  • Permeabilidade magnética do material igual à do vácuo: \;\mu=\mu_0.
  • Pedem a magnitude do campo magnético em r=8,7\\ \mathrm{mm} (ou seja, dentro do fio, pois r<R).

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagar): dentro de um fio com corrente distribuída uniformemente, a densidade de corrente é homogênea. A densidade de corrente \;J é a corrente por área da seção transversal. Definição:
J=\frac{I}{A},
onde \;A é a área da seção transversal do fio. Aqui a área da seção circular de raio \;R é \;A=\pi R^{2}. Então \;J mede quantos ampères “passam por unidade de área”. Isso é útil porque, para calcular quanto da corrente total está dentro do círculo de raio \;r (com r<R), multiplicamos \;J pela área do círculo de raio \;r.

Passo 3

Cálculo da corrente encerrada pelo círculo de raio \;r (ou seja, a corrente que passa por dentro desse raio):
  • Área total do fio: \;A_{\text{total}}=\pi R^{2}.
  • Área do círculo de raio r: \;A_{r}=\pi r^{2}.
  • Como a corrente se distribui uniformemente, a corrente encerrada é
I_{\text{enc}} = J \, A_{r} = \frac{I}{\pi R^{2}} \cdot \pi r^{2} = I\frac{r^{2}}{R^{2}}.
Portanto \;I_{\text{enc}} = I\frac{r^{2}}{R^{2}}. É intuitivo: a fração da corrente dentro do raio r é a mesma fração das áreas, r^{2}/R^{2}.

Passo 4

Aplicando a lei de Ampère (explicação): para uma distribuição com simetria cilíndrica, o campo magnético em um círculo concêntrico tem direção tangencial e mesma magnitude em todos os pontos desse círculo. A lei de Ampère diz
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \mu_{0} I_{\text{enc}}.
No nosso caso a integral de linha ao longo de um círculo de raio r B constante vezes o comprimento da circunferência 2\pi r. Portanto
B(2\pi r)=\mu_{0} I_{\text{enc}}.
Substituindo I_{\text{enc}} = I\frac{r^{2}}{R^{2}} obtemos a fórmula do campo dentro do fio:
B(r)=\frac{\mu_{0} I_{\text{enc}}}{2\pi r}=\frac{\mu_{0}}{2\pi r}\;I\frac{r^{2}}{R^{2}}=\frac{\mu_{0} I r}{2\pi R^{2}}.
Aqui explico cada símbolo:
  • \;B(r) é a magnitude do campo magnético no raio \;r.
  • \;\mu_{0} é a permeabilidade do vácuo ( \mathrm{H/m}).
  • \;I é a corrente total no fio.
  • \;R é o raio do fio.
  • \;r é a posição onde calculamos B (com r<R).

Passo 5

Preparar valores numéricos convertendo para unidades do SI (tudo em metros):
R=10\\ \mathrm{mm}=10\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}=0,01\\ \mathrm{m},
r=8,7\\ \mathrm{mm}=8,7\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}=0,0087\\ \mathrm{m},
I=62\\ \mathrm{A},
\mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 6

Substituir na fórmula \displaystyle B(r)=\frac{\mu_{0} I r}{2\pi R^{2}} e calcular passo a passo. Primeiro escrevo a substituição:
B=\frac{(4\pi\times 10^{-7})\cdot 62 \cdot 0,0087}{2\pi\cdot (0,01)^{2}}.
Simplifico cancelando \pi e juntando potências de dez:
B=\frac{4\cdot 62\cdot 0,0087\times 10^{-7}}{2\cdot 10^{-4}}.
Calculo numérico das partes:
  • 4\cdot 62=248.
  • 248\cdot 0,0087=2,1576.
    Então o numerador é 2,1576\times 10^{-7}. O denominador é 2\times 10^{-4}. Dividindo:
B=\frac{2,1576\times 10^{-7}}{2\times 10^{-4}}=1,0788\times 10^{-3}\\ \mathrm{T}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas iguais às dos dados), fica
B\approx 1,08\times 10^{-3}\\ \mathrm{T}.
Se preferir em miliTesla:
B\approx 1,08\\ \mathrm{mT}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o campo dentro do fio cresce linearmente com r até a superfície ( r=R), e o valor numérico que encontramos é da ordem de militesla — razoável para correntes grandes distribuídas em seção relativamente pequena. Vai dar tudo certo na prova — só reproduzir esses passos com calma.

Resposta

1,08\times 10^{-3}\\ \mathrm{T}

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