As coordenadas x, y de posição de uma partícula são: (2 m, 3 m) em t=0 ;(6 m, 3 m) em t=2 s e, ( 13 m, 14 m ) em t=5 s.
Determine a velocidade média v_{m} entre os instantes t=0 e $t=5 s.

Passo 1

O enunciado dá as posições da partícula em três instantes, mas pede a velocidade média entre t=0 e t=5\\ \text{s}. Informações relevantes fornecidas:
  • Posição em t=0: \vec{r}(0)=(2\\ \text{m},\;3\\ \text{m}).
  • Posição em t=2\\ \text{s}: \vec{r}(2)=(6\\ \text{m},\;3\\ \text{m}). (essa posição não é necessária para o intervalo pedido, mas foi dada)
  • Posição em t=5\\ \text{s}: \vec{r}(5)=(13\\ \text{m},\;14\\ \text{m}).
  • O intervalo de tempo de interesse é \Delta t = 5\\ \text{s} - 0\\ \text{s} = 5\\ \text{s}.

    Pergunta a responder: determinar a velocidade média \vec{v}_{m} entre t=0 e t=5\\ \text{s}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): a velocidade média vetorial é definida como a razão entre o deslocamento vetorial \Delta \vec{r} e o intervalo de tempo \Delta t:
\vec{v}_{m}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}.
Aqui:
  • \vec{r}(t) é o vetor posição no tempo t.
  • \Delta \vec{r}=\vec{r}(t_{\text{final}})-\vec{r}(t_{\text{inicial}}) é o deslocamento vetorial (subtração componente a componente).
  • \Delta t = t_{\text{final}}-t_{\text{inicial}} é o tempo decorrido.

    Explicação do porquê: a velocidade média mede quanto, em média, a posição mudou por unidade de tempo. Como posição é vetor, usamos deslocamento vetorial.

Passo 3

Calcular o deslocamento \Delta \vec{r} entre t=0 e t=5:
\Delta \vec{r}=\vec{r}(5)-\vec{r}(0).
Substituindo as coordenadas (peguei os valores das posições do enunciado):
\Delta \vec{r}=(13\\ \text{m}-2\\ \text{m},\;14\\ \text{m}-3\\ \text{m})=(11\\ \text{m},\;11\\ \text{m}).
Ou seja, a partícula deslocou-se 11\\ \text{m} na direção x e 11\\ \text{m} na direção y.

Passo 4

(Para quem gosta de ver o módulo do deslocamento) Calculamos o comprimento do vetor deslocamento usando a fórmula do módulo de um vetor em 2D:
\lvert \Delta \vec{r}\rvert=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}.
Aplicando \Delta x=11\\ \text{m} e \Delta y=11\\ \text{m}:
\lvert \Delta \vec{r}\rvert=\sqrt{11^{2}+11^{2}}=\sqrt{2\cdot 11^{2}}=11\sqrt{2}\\ \text{m}\approx 15{,}56\\ \text{m}.

Passo 5

Agora a velocidade média vetorial:
\vec{v}_{m}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{(11\\ \text{m},\;11\\ \text{m})}{5\\ \text{s}}=\left(\frac{11}{5}\\ \frac{\text{m}}{\text{s}},\;\frac{11}{5}\\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\right).
Escrevendo em decimal:
\vec{v}_{m}=(2{,}2\\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}},\;2{,}2\\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}).
Cada componente significa: em média a partícula se desloca 2{,}2\\ \text{m} por segundo na direção x e 2{,}2\\ \text{m} por segundo na direção y.

Passo 6

Magnitude da velocidade média (se você quiser o “valor escalar” da velocidade média):
\lvert \vec{v}_{m}\rvert=\frac{\lvert \Delta \vec{r}\rvert}{\Delta t}=\frac{11\sqrt{2}\\ \text{m}}{5\\ \text{s}}=\frac{11}{5}\sqrt{2}\\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 3{,}11\\ \frac{\text{m}}{\text{s}}.
Interpretação: em média a rapidez (módulo da velocidade média) foi cerca de 3{,}11\\ \text{m/s}.

Resposta

\displaystyle \vec{v}_{m}=\left(\frac{11}{5},\;\frac{11}{5}\right)\\ \text{m/s}=(2{,}2,\;2{,}2)\\ \text{m/s}\n
\displaystyle |\vec{v}_{m}|=\frac{11\sqrt{2}}{5}\\ \text{m/s}\approx 3{,}11\\ \text{m/s}

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